Принцип Кавальери
В XVII в. началась эпоха интегрального исчисления. Математики возвращались к задачам о вычислении площадей криволинейных фигур и объемов «кривых» тел, которыми так успешно занимался в древности Архимед.
Интересовался этим вопросом и итальянский монах Бонавентура Кавальери (1598–1647). Он занимал кафедру математики в Болонском университете. В переписке с астрономом и математиком Г. Галилеем они обсуждали разнообразные механические и математические проблемы, и в частности метод «неделимых». Галилей собирался, но так и не написал книгу об этом методе. В 1635 г. вышла книга Кавальери «Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых частей непрерывных величин».
При вычислении площадей многоугольников бывает полезно преобразовывать фигуры, не меняя их площадей, например разрезать на части и составлять новые (см. Равновеликие и равносоставленные фигуры). Так можно преобразовать друг в друга треугольники с равными основаниями и высотами.
Принцип Кавальери. Рис. 1.
Принцип Кавальери. Рис. 2.
Можно ли аналогичным образом преобразовывать криволинейные фигуры? Кавальери представляет их себе состоящими из бесконечно тонких параллельных плоских слоев-«неделимых» или «нитей» (рис. 1) и утверждает, что площадь не меняется при сдвигах этих слоев друг относительно друга. Иначе, принцип Кавальери состоит в том, что если пересечь фигуру семейством всех прямых, параллельных заданной, то длины пересечений полностью определят площадь фигуры. В частности, если у двух фигур эти длины совпадают, то они равновелики. Строгого обоснования своего принципа Кавальери не дал, но рассмотрел его многочисленные применения. Например, на основе этого принципа легко получается равновеликость треугольников с равными основаниями и высотами. Одно из самых удивительных применений принципа Кавальери принадлежит французскому математику Ж. Робервалю (1602–1675), который нашел площадь сегмента, ограниченного одной аркой циклоиды (см. Циклоида). В каждый момент времени Роберваль проектировал точку, двигающуюся по циклоиде, на вертикальный диаметр катящегося круга. Получалась новая кривая, которую Роберваль назвал спутницей циклоиды (рис. 2, а). Но потом выяснилось, что это синусоида, и это было первое (1634) появление её в математике! Площадь под аркой синусоиды легко вычисляется при помощи перехода к равносоставленному с ней прямоугольнику площадью 2π (рис. 2,б). Каждая из оставшихся двух фигур, которые называли лепестками Роберваля, по принципу Кавальери равновелика вертикальному полукругу, т. е. общая площадь равна 3π.
Еще более эффективен принцип Кавальери при нахождении объемов тел. Он состоит в том, что объем тела определяется площадями его пересечений «всеми плоскостями», параллельными некоторой заданной. Отсюда следует теорема о равновеликости пирамид с равновеликими основаниями и равными высотами, а эти пирамиды, как правило, не равносоставлены (см. Равновеликие и равносоставленные фигуры). На этой теореме основывается формула для объема пирамиды. Очень удобен принцип Кавальери и для получения формул объемов круглых тел, скажем шара. Впишем в круговой цилиндр радиусом r и высотой 2r шар. Тело, являющееся дополнением шара до цилиндра, по принципу Кавальери равновелико телу, составленному из двух конусов, построенных на верхнем и нижнем основаниях цилиндра с вершиной в центре шара. Отсюда следует, что V = 4/3πr3.
Интегральное исчисление содержит общие методы для вычисления площадей и объемов, причем там, где применение принципа Кавальери требовало нестандартных построений, к успеху приводят стандартные вычисления, и постепенно принцип Кавальери отошел в область истории. Однако, поскольку по принципу Кавальери легко вычисляются все «школьные» объемы и площади, неоднократно предлагалось принять принцип Кавальери в школьной геометрии за аксиому. Этот материал можно найти в школьных учебниках.
