Интегральное исчисление

Интегральное исчисление - это раздел математического анализа, в котором изучаются интегралы, их свойства, способы вычисления и приложения. Вместе с дифференциальным исчислением оно составляет основу аппарата математического анализа.

Интегральное исчисление возникло из рассмотрения большого числа задач естествознания и математики. Важнейшие из них-физическая задача определения пройденного за данное время пути по известной, но, быть может, переменной скорости движения и значительно более древняя задача вычисления площадей и объемов геометрических фигур (см. Геометрические задачи на экстремум).

Центральным в интегральном исчислении является понятие интеграла, которое, однако, имеет две различные трактовки, приводящие соответственно к понятиям неопределенного и определенного интегралов.

В дифференциальном исчислении была введена операция дифференцирования функций. Рассматриваемая в интегральном исчислении обратная к дифференцированию математическая операция называется интегрированием или, точнее, неопределенным интегрированием.

В чем же состоит эта обратная операция и в чем ее неопределенность?

Операция дифференцирования сопоставляет заданной функции F(х) ее производную F'(x)=f(x). Допустим, что мы хотим, исходя из заданной функции f(х), найти такую функцию F(х), производной которой является функция f(х), т. е. f(х) = F'(х). Такая функция называется первообразной функции f(х).

Значит, обратная дифференцированию операция - неопределенное интегрирование - состоит в отыскании первообразной данной функции.

Заметим, что, наряду с функцией F(x), первообразной для функции f(х), очевидно, будет также любая функция ℱ(х) = F(х) + С, отличающаяся от F(х) постоянным слагаемым С; ведь ℱ'(х) = F(х) = f(х).

Таким образом, в отличие от дифференцирования, сопоставлявшего функции единственную другую функцию - производную первой, неопределенное интегрирование приводит не к одной конкретной функции, а к целому набору функций, и в этом его неопределенность.

Однако степень этой неопределенности не так уж велика. Напомним, что если производная некоторой функции равна нулю во всех точках какого-то промежутка, то это функция, постоянная на рассматриваемом промежутке (на промежутках, где скорость изменения переменной величины везде равна нулю, она не меняется). Значит, если ℱ'(х) = F(х) на каком-то промежутке а<х<b, то функция ℱ(x)-F(x) постоянна на этом промежутке, поскольку ее производная ℱ'(х) — F'(х) равна нулю во всех точках промежутка.

Итак, две первообразные одной и той же функции могут отличаться на промежутке только постоянным слагаемым.

Первообразные функции f(х) обозначают символом

∫ f(x) dx,

где знак ∫ читается: интеграл. Это так называемый неопределенный интеграл. По доказанному, неопределенный интеграл изображает на рассматриваемом промежутке не одну конкретную функцию, а любую функцию вида

∫ f(x) dx = F(x) + C, (1)

где F(x) - какая-то первообразная функции f(х) на данном промежутке, а С-произвольная постоянная.

Например, на всей числовой оси

∫ 2х dx = х² + С; ∫ cos у dy = sin у + С; ∫ sin z dz = -cos z + С.

Мы здесь специально обозначили аргументы подынтегральных функций различными символами: х, у, z, чтобы обратить внимание на независимость первообразной как функции от выбора буквы, используемой для обозначения ее аргумента.

Проверка написанных равенств выполняется простым дифференцированием их правых частей, в результате которого получаются стоящие в левых частях под знаком интеграла функции 2х, cos y, sin z соответственно.

Полезно иметь в виду также следующие очевидные соотношения, непосредственно вытекающие из определений первообразной, производной, дифференциала и из соотношения (1) для неопределенного интеграла:

(∫f(x)dx)' = f(х),

d(∫f(x)dx) = f(x)dx,

∫F'(x)dx = F(x) + C,

∫dF(x) = F(x) + C.

Отыскание первообразной часто облегчают некоторые общие свойства неопределенного интеграла:

∫сf(х)dx = с∫f(х)dx (вынесение постоянного множителя);

∫(f(x) + g(х))dx = ∫f(x)dx + ∫g(х)dx (интегрирование суммы);

если

∫f(x)dx = F (х) + С, то

∫f(φ(t))φ'(t)dt = F(φ(t)) + C (замена переменной).

Эти соотношения также проверяются непосредственно с использованием соответствующих правил дифференцирования.

Найдем закон движения свободно падающего в пустоте тела, исходя из единственного факта, что при отсутствии воздуха ускорение д свободного падения вблизи поверхности Земли постоянно и не зависит от особенностей падающего тела. Фиксируем вертикальную координатную ось; направление на оси выберем в сторону к Земле. Пусть s(t)~ координата нашего тела в момент t. Нам известно, таким образом, что s"(t)=g и g-постоянная. Требуется найти функцию s(t) - закон движения.

Поскольку g = v'(t), где v(t) = s'(t), то, последовательно интегрируя, находим

v(t) = ∫gdt = ∫1•dt = g•t + C₁ (2)

s(t) = ∫v(t)dt = ∫(g•t + C₁)dt = ∫g•tdt + ∫C₁dt = g∫tdt + C₁∫1•dt = gt²/2 + C₁t + C₂.

Итак, мы нашли, что

s(t) = gt²/2 + C₁t + C₂, (3)

где C₁ и C₂ - какие-то постоянные. Но падающее тело подчиняется все-таки одному конкретному закону движения, в котором уже нет никакого произвола. Значит, есть еще какие-то условия, которые мы пока не использовали; они позволяют среди всех «конкурирующих» законов (3) выбрать тот, который соответствует конкретному движению. Эти условия легко указать, если разобраться в физическом смысле постоянных C₁, и C₂. Если сравнить крайние члены соотношения (2) при t = 0, то выяснится, что C₁ = v(0), а из (3) при t = 0 получается, что C₂ = s(0). Таким образом, математика сама напомнила нам, что искомый закон движения

s(t) = gt²/2 + v₀t + s₀

вполне определится, если указать начальное положение s₀ = s(0) и начальную скорость v₀ = v(0) тела. В частности, если d₀ = 0 и s₀ = 0, получаем s(t) = gt²/2.

Отметим теперь, что между операцией нахождения производной (дифференцированием) и операцией отыскания первообразной (неопределенным интегрированием) имеется, кроме указанного выше, еще целый ряд принципиальных отличий. В частности, следует иметь в виду, что если производная любой комбинации элементарных функций сама выражается через элементарные функции, т. е. является элементарной функцией, то первообразная элементарной функции уже не всегда является функцией элементарной. Например, первообразная

∫((sin х)/x)dx

элементарной функции (sin х)/х (называемая интегральным синусом и обозначаемая специальным символом si(x)), как можно доказать, не выражается в элементарных функциях. Таким образом, принципиальный математический вопрос о существовании первообразной у наперед заданной функции не надо смешивать с не всегда разрешимой задачей об отыскании этой первообразной среди элементарных функций. Интегрирование часто является источником введения важных и широко используемых специальных функций, которые изучены ничуть не хуже таких «школьных» функций, как х² или sin х, хотя и не входят в список элементарных функций.

Наконец, отметим, что отыскание первообразной, даже когда она выражается в элементарных функциях, скорее напоминает искусство, чем канонический алгоритм вычислений, подобный алгоритму дифференцирования. По этой причине найденные первообразные наиболее часто встречающихся функций собраны в виде справочных таблиц неопределенных интегралов. Следующая микротаблица такого рода, очевидно, равносильна микротаблице производных соответствующих основных элементарных функций:

∫xⁿdx = 1/(n+1) • xⁿ⁺¹ + С при n ≠ -1;

∫cos x dx = -sin x + С;

∫sin x dx = -cos x + С;

∫ dx/cos²x = tg x + С;

∫dx/sin²x = -ctg x + C.

Мы, пока говорили об обращении операции дифференцирования, пришли в этой связи к понятиям первообразной, неопределенного интеграла и дали первоначальное определение этих понятий.

Теперь укажем иной, куда более древний подход к интегралу, который послужил основным первоначальным источником интетрального исчисления и привел к понятию определенного интеграла или интеграла в собственном смысле этого слова. Этот подход четко прослеживается уже у древнегреческого математика и астронома Евдокса Книд-ского (примерно 408-355 до н.э.) и Архимеда, т.е. он возник задолго до появления дифференциального исчисления и операции дифференцирования.

Вопрос, который рассматривали Евдокс и Архимед, создав при его решении «метод исчерпывания», предвосхитивший понятие интеграла,-это вопрос о вычислении площади криволинейной фигуры. Ниже мы рассмотрим этот вопрос, а пока поставим, вслед за И. Ньютоном, следующую задачу: по известной в любой момент t из промежутка времени a≤t≤b скорости v(t) тела найти величину перемещения тела за этот промежуток времени.

Если бы был известен закон движения, т.е. зависимость координаты тела от времени, то ответ, очевидно, выражался бы разностью s(b) - s(а). Более того, если бы мы знали какую-либо первообразную s̃(0) функции v(t) на промежутке [а;b] то, поскольку s̃(t) = s(t) + С, где С - постоянная, можно было бы найти искомую величину перемещения в виде разности s̃(b) — s(а), которая совпадает с разностью s (b) — s (я). Это очень полезное наблюдение, однако если первообразную данной функции v(t) указать не удается, то действовать приходится совсем иначе.

Будем рассуждать следующим образом.

Если промежуток [а;b] отдельными моментами t₀, t₁, ..., t_n, такими, что а = t₀ < t₁ < ... < t_n = b, разбить на очень мелкие временные промежутки [t_i-1;t_i], i = 1, 2, ..., n, то на каждом из этих коротких промежутков скорость v(t) тела не успевает заметно измениться. Фиксировав произвольно момент τ_i ∈ [t_i-1;t_i], можно таким образом приближенно считать, что на промежутке времени [t_i-1;t_i] движение происходит с постоянной скоростью v(τ_i). В таком случае для величины пути, пройденного за промежуток времени [t_i-1;t_i] получаем приближенное значение v(τ_i)•∆t_i, где ∆t_i = t_i - t_i-1. Складывая эти величины, получаем приближенное значение

v(τ₁)•∆t₁ + v(τ₂)•∆t₂ + ... + v(τ_n)•∆t_n (4)

для всего перемещения на промежутке [a;b].

Найденное приближенное значение тем точнее, чем более мелкое разбиение промежутка [a;b] мы произведем, т.е. чем меньше будет величина ∆ наибольшего из промежутков [t_i-1;t_i], на которые разбит промежуток [a;b].

Значит, искомая нами величина перемещения есть предел

lim_∆→0 ∑ⁿ_i=1 v(τ_i)•∆t_i (5)

сумм вида (4), когда величина ∆ стремится к нулю.

Суммы специального вида (4) называются интегральными суммами для функции v(t) на промежутке [a;b], а их предел (5), получаемый при неограниченном мельчании разбиений, называется интегралом (или определенным интегралом) от функции v(t) на промежутке [a;b]. Интеграл обозначается символом

∫_a^b v(t)dt,

в котором числа а, b называются пределами интегрирования, причем а-нижним, а b-верхним пределом интегрирования; функция v(t), стоящая под знаком ∫ интеграла, называется подынтегральной функцией; v(t)dt - подынтегральным выражением; t-переменной интегрирования.

Итак, по определению,

∫_a^b v(t)dt = lim_∆→0 ∑ⁿ_i=1 v(τ_i)•∆t_i. (6)

Значит, искомая величина перемещения тела за временной промежуток [a;b] при известной скорости v(t) движения выражается интегралом (6) от функции v(t) по промежутку [a;b].

Сопоставляя этот результат с тем, который на языке первообразной был указан в начале рассмотрения этого примера, приходим к знаменитому соотношению:

∫_a^b v(t)dt = s(b)-s(a), (7)

если v(t) = s'(t). Равенство (7) называется формулой Ньютона-Лейбница. В левой его части стоит понимаемый как предел (6) интеграл, а в правой-разность значений (в концах b и a промежутка интегрирования) функции s(t), первообразной подынтегральной функции v(t). Таким образом, формула Ньютона-Лейбница связывает интеграл (6) и первообразную. Этой формулой можно, следовательно, пользоваться в двух противоположных направлениях: вычислять интеграл, найдя первообразную, или получать приращение первообразной, найдя из соотношения (6) интеграл. Мы увидим ниже, что оба эти направления использования формулы Ньютона-Лейбница весьма важны.

Интеграл (6) и формула (7) в принципе решают поставленную в нашем примере задачу. Так, если v(t) = gt (как это имеет место в случае свободного падения, начинающегося из состояния покоя, т.е. с v(0) = 0), то, найдя первообразную s(t) = gt²/2 + С функции v(t) = g•t по формуле (7), получаем величину

∫_a^b gt dt = gb²/2 - ga²/2

перемещения за время, прошедшее от момента a до момента b.

На основе разобранной только что физической задачи, приведшей нас к интегралу и формуле Ньютона-Лейбница, обобщая сделанные наблюдения, можно теперь сказать, что если на некотором промежутке а ≤ х ≤ b задана функция f(х), то, разбивая промежуток [а;b] точками а = х₀ < x₁ < ... < х_n = b, составляя интегральные суммы

f(ξ₁)•∆x₁ + f(ξ₂)•∆x₂ + ... + f(ξ_n)•∆x_n, (4')

где ξ_i ∈ [x_i-1;x_i] , ∆x_i = x_i - x_i-1, и переходя к пределу при ∆→0, где ∆ = max {∆x₁, ∆x₂, ..., ∆x_n}, мы получаем по определению интеграл

∫_a^b f(x) dx = lim_∆→0 ∑ⁿ_i=1 f(ξ_i)•∆x_i (6')

от функции f(х) по промежутку [a;b]. Если при этом F'(x)=f(x) на [a;b], т.е. F(x) - первообразная функции f(х) на промежутке [a;b], то имеет место формула Ньютона-Лейбница:

∫_a^b F(x) dx = F(b) — F(а). (7')

Итак, определены важнейшие понятия интегрального исчисления и получена формула Ньютона-Лейбница, связывающая интегрирование и дифференцирование.

Подобно тому как в дифференциальном исчислении к понятию производной вела не только задача определения мгновенной скорости движения, но и задача проведения касательной, так в интегральном исчислении к понятию интеграла приводит не только физическая задача определения пройденного пути по заданной скорости движения, но и многие другие задачи, и в их числе древние геометрические задачи о вычислении площадей и объемов.

Пусть требуется найти площадь S изображенной на рис. 1 фигуры aABb (называемой криволинейной трапецией), верхняя «сторона» АВ которой есть график заданной на отрезке [a;b] функции у =f(х). Точками а = х₀ < х₁ < ... < х_n = b разобьем отрезок [a;b] на мелкие отрезки [x_i-1;x_i], в каждом из которых фиксируем некоторую точку ξ_i ∈ [x_i-1;x_i]. Площадь узкой криволинейной трапеции, лежащей над отрезком [x_i-1;x_i], заменим приближенно площадью f(ξ_i)(x_i-1 - x_i) = f(ξ_i)∆x_i соответствующего прямоугольника с основанием [x_i-1;x_i] и высотой f(ξ_i). В таком случае приближенное значение площади S всей фигуры aABb даст знакомая нам интегральная сумма ∑ⁿ_i=1 f(ξ_i)•∆x_i, а точное значение искомой площади S получится как предел таких сумм, когда длина ∆ наибольшего из отрезков [x_i-1;x_i] разбиения стремится к нулю. Таким образом, получаем:

∫_a^b f(x) dx. (8)

Попробуем теперь вслед за Архимедом выяснить, в каком отношении парабола у = х² делит площадь изображенного на рис. 2 единичного квадрата. Для этого попросту вычислим, исходя из формулы (8), площадь S нижнего параболического треугольника. В нашем случае = [0;1] и f(х) = х². Нам известна первообразная F(x) = x³/3 функции f(х) = х², значит, можно воспользоваться формулой (7') Ньютона-Лейбница и без труда получить

S = ∫₀¹ х² dx = 1/3 • 1³ - 1/3 • 0³ = 1/3.

Следовательно, парабола делит площадь квадрата в отношении 2:1.

При обращении с интегралами, особенно применяя формулу Ньютона-Лейбница, можно пользоваться общими свойствами неопределенного интеграла, которые названы в начале статьи. В частности, правило замены переменной в неопределенном интеграле при условии, что а = φ(α), b = φ(β), с учетом формулы Ньютона-Лейбница позволяет заключить, что

∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) = F(φ(β)) - F(φ(α)) = ∫_α^β f(φ(t))φ'(t) dt,

и таким образом, получается очень полезная формула замены переменной в определенном интеграле:

∫_a^b f(x) dx = ∫_α^β f(φ(t))φ'(t) dt (9)

С помощью интегралов вычисляют также объемы тел. Если изображенную на рис. 1 криволинейную трапецию aABb вращать вокруг оси Ох, то получится тело вращения, которое приближенно можно считать составленным из узких цилиндров (рис. 3), полученных при вращении соответствующих прямоугольников. Сохраняя прежние обозначения, записываем объем каждого из этих цилиндров в виде πf²ξ_i•∆x_i, (произведение площади πf²ξ_i основания на высоту ∆x_i). Сумма πf²ξ₁•∆x₁ + πf²ξ₂•∆x₂ + ... + πf²ξ_n•∆x_n дает приближенное значение объема V рассматриваемого тела вращения. Точное значение V получится как предел таких сумм при ∆→0. Значит,

V = π∫_a^b f²(x) dx. (10)

В частности, чтобы вычислить объем изображенного на рис. 4 конуса, достаточно положить в формуле (10) а = 0, b = h и f(х) = kх, где k - угловой коэффициент вращаемой прямой. Найдя первообразную k²x³/3 функции f²(x) = k²x² и воспользовавшись формулой Ньютона-Лейбница, получаем

V = π∫₀^h k²x² dx = π(k²h³/3 - k²0³/3)

= π(kh)² h/3 = Sh/3,

где S = π(kh)² площадь круга, лежащего в основании конуса.

В разобранных примерах мы исчерпывали геометрическую фигуру такими фигурами, площади или объемы которых могли вычислить, а затем делали предельный переход. Этот прием, идущий от Евдокса и развитый Архимедом, называется методом исчерпывания. Это наиболее распространенный метод рассуждений в большинстве применений интеграла.

В качестве еще одного примера рассмотрим вполне конкретный «космический» вопрос.

Мы хотим вычислить скорость V, до которой нужно разогнать тело (ракету), чтобы затем оно, удаляясь по инерции от планеты вдоль радиуса, уже никогда не было возвращено притяжением планеты назад. Эта скорость называется второй космической, в отличие от первой космической, которую должен иметь спутник, выходящий на орбиту у поверхности планеты.

Пусть m-масса тела, М-масса планеты. Кинетической энергии mv²/2, которой следует наделить тело для выхода из поля притяжения планеты, должно хватить, чтобы совершить работу против силы тяготения. Величина этой силы на расстоянии r от центра планеты по открытому Ньютоном закону всемирного тяготения равна

G • mM/r²,

где G - гравитационная постоянная. Таким образом, эта сила меняется, причем ослабевает по мере удаления от планеты.

Вычислим работу A^R_R0, которую нужно совершить, чтобы тело, находящееся на высоте R₀ (считая от центра планеты), поднять на высоту R.

Если бы сила была постоянна, то мы просто умножили бы ее величину на длину R - R₀ пройденного вдоль направления ее действия пути и нашли бы совершенную работу. Но сила меняется, поэтому мы разобьем весь промежуток [R₀;R] точками R₀ = r₀ < ₁ < ... < r_n = R на маленькие промежутки, в пределах которых изменением силы можно пренебречь; найдем приближенно элементарные работы

G • mM/r_i² • (r_i - r_i-1) = G • mM/r_i² • ∆r_i

на каждом из промежутков [r_i-1; r_i]; сложив элементарные работы

G • mM/r₁² • ∆r₁ + G • mM/r₂² • ∆r₂ + ... + G • mM/r_n² • ∆r_n

получим приближенное значение искомой работы A^R_R0 на промежутке [R₀;R], а точнее значение A^R_R0 выражается, таким образом, следующим интегралом:

A^R_R0 = ∫^R_R0 G • mM/r² dr

в котором роль переменной интегрирования играет r. Величины G, m, M постоянны, а функция r^-2 имеет первообразную -r^-1, зная которую по формуле Ньютона-Лейбница находим

A^R_R0 = GmM (1/R₀ - 1/R).

Если R увеличивать неограниченно, т.е., как говорят, удалять тело на бесконечность, то, переходя к пределу при R → ∞, получаем

A^∞_R0 = GmM/R₀,

где ∞-символ, читаемый «бесконечность». Если в последней формуле считать, что R₀-радиус планеты, то A^∞_R0 будет работой, которую надо совершить против сил тяготения, чтобы тело с поверхности планеты ушло в бесконечность.

Полученное для A^∞_R0 выражение можно упростить, если вспомнить другой закон Ньютона F = ma, связывающий силу F и вызванное ею ускорение a тела массы m. Свободно падающее на планету тело у ее поверхности имеет ускорение а = g, вызванное силой притяжения

F = GmM/R₀²

где R₀ - радиус планеты. Значит,

GmM/R₀² = mg, откуда следует, что

GmM/R₀² = g и, значит A^∞_R0 = mGR₀.

Это и есть формула для подсчета работы, необходимой для выхода из поля притяжения планеты. Для «ухода» с планеты по инерции нужно иметь вертикальную скорость v, при которой кинетическая энергия mv²/2 тела не меньше или, по крайней мере, равна работе затрачиваемой на преодоление притяжения планеты.

Таким образом, вторая космическая скорость, получаемая из равенства mv²/2 = mgR₀, выражается в виде

v = √(2gR₀).

В частности, для Земли g ≈ 10 м/с², R₀ ≈ 6 400 000 м, поэтому v ≈ 8000•√2 м/с, или v ≈ 11,2 км/с.

Во всех разобранных до сих пор примерах мы использовали первообразную, чтобы по формуле (7') Ньютона Лейбница вычислить интересовавший нас интеграл. Но та же формула Ньютона-Лейбница наводит на мысль использовать сам интеграл для нахождения первообразной или, по крайней мере, для выяснения принципиального вопроса о ее существовании. Этого вопроса мы уже коснулись в разделе, посвященном первообразной и неопределенному интегралу. Теперь мы рассмотрим его несколько внимательнее.

Пусть на отрезке [a;b] задана функция f, график которой изображен линией AB на рис. 5. Мы знаем, что площадь всей криволинейной трапеции aABb выражается интегралом (8). Обозначим через ℱ(х) площадь той ее части, которая лежит над отрезком [а;х].

Тогда

ℱ(x)=∫_a^x f(x)dt. (11)

Здесь мы обозначили переменную интегрирования через t, чтобы не путать ее с х, являющимся в нашем случае верхним пределом интегрирования.

Величина ℱ(x), очевидно, зависит от точки x∈[a;b].

Покажем, что ℱ(x) - первообразная функции f(х) на отрезке [a;b], т.е. ℱ'(x)=f(х) при x∈[a;b]. В самом деле, как видно из рис. 5,

ℱ(x+h) - ℱ(x) ≈ f(x)•h,

что равносильно приближенному равенству

(ℱ(x+h) - ℱ(x))/h ≈ f(x)

При уменьшении величины h точность этого соотношения только улучшается, поэтому

lim_h→0 (ℱ(x+h) - ℱ(x))/h = f(x)

и, значит,

ℱ'(x)=f(х).

Таким образом, интеграл (11) с переменным верхним пределом х дает нам первообразную функции f(х). Среди всех прочих первообразных функции f(х) на отрезке [a;b] эта первообразная выделяется очевидным условием ℱ(a) = 0. Поскольку интеграл, согласно его определению (6'), можно вычислить с любой наперед заданной точностью, то и значение ℱ(х) первообразной (11) функции f(х) в любой точке x∈[a;b] можно найти сколь угодно точно, даже не интересуясь при этом аналитической записью ℱ(х) или вопросом о том, является ли ℱ(х) элементарной функцией.

Существуют простые и очень эффективные численные методы интегрирования - это так называемые квадратурные формулы. Они позволяют на электронных вычислительных машинах за доли секунды получать значения определенных интегралов. Это обстоятельство делает формулу (11) средством отыскания первообразной. Например, современные подводные лодки порой месяцами находятся на большой глубине и перемещаются на огромные расстояния; не имея никакой связи с внешним миром, они тем не менее выходят в точно заданный квадрат. Навигационное оборудование, которое позволяет определять координаты лодки в любой момент, является технической реализацией формулы (11) и основано на таком физическом принципе. Находясь в закрытом движущемся помещении (хорошо звукоизолированном мягком вагоне, самолете и т.д.), мы не ощущаем скорости движения, но зато определенно чувствуем изменение скорости-ускорение. Оно положительно при увеличении скорости, когда масса вдавливает вас в самолетное кресло, и отрицательно при торможении, когда вам могут пригодиться даже пристяжные ремни. Поскольку между ускорением а массы m и вызывающей его силой F имеется прямая пропорциональная зависимость F = mа, величину а укорения можно объективно измерять, закрепив массу m на свободном конце пружинки, расположенной вдоль направления движения, и соединив жестко второй ее конец, например, с задней стенкой движущегося помещения. Если растяжение и сжатие пружины пропорционально действующей на нее силе, то по величине отклонения массы m от положения равновесия можно узнавать величину a(t) ускорения, происходящего в данном направлении в любой момент времени t.

Если движение начиналось с нулевой начальной скоростью, то, зная a(t), можно по формуле (11) найти сначала скорость v(t) движения, а зная v(t), найти и перемещение s(t) в этом направлении к моменту и поскольку

v(t) = ∫₀^t a(u) du, a s(t) = ∫₀^t v(u) du.

Обработка показаний приборов и вычисление этих интегралов выполняется электронной вычислительной машиной. Если есть три датчика ускорения, удерживаемых (например, гироскопами) в трех взаимно перпендикулярных направлениях, то вы можете в любой момент знать ваше перемещение по каждому из указанных направлений и тем самым определить все три ваши координаты в некоторой системе координат, началом которой является точка старта-база, аэродром, космодром.