Последовательность

Последовательность — одно из основных понятий математики. Последовательность может быть составлена из чисел, точек, функций, векторов и т.д. Последовательность считается заданной, если указан закон, по которому каждому натуральному числу n ставится в соответствие элемент x_n некоторого множества. Последовательность записывается в виде x₁, x₂, …, x_n, или кратко (x_n). Элементы x₁, x₂, …, x_n называются членами последовательности, x₁ — первым, x₂ — вторым, x_n — общим (n-м) членом последовательности.

Наиболее часто рассматривают числовые последовательности, т. е. последовательности, члены которых — числа. Аналитический способ — самый простой способ задания числовой последовательности. Это делают с помощью формулы, выражающей n-й член последовательности х₁ через его номер n. Например, если

Другой способ — рекуррентный (от латинского слова recurrens — «возвращающийся»), когда задают несколько первых членов последовательности и правило, позволяющее вычислять каждый следующий член через предыдущие. Например:

(1)

Примеры числовых последовательностей — арифметическая прогрессия и геометрическая прогрессия.

Интересно проследить поведение членов последовательности при неограниченном возрастании номера n (то, что n неограниченно возрастает, записывается в виде n → ∞ и читается: «n стремится к бесконечности»).

Рассмотрим последовательность с общим членом x_n = 1/n: x₁ = 1, x₂ = 1/2; x₃ = 1/3, …, x₁₀₀ = 1/100, …. Все члены этой последовательности отличны от нуля, но чем больше n, тем меньше x_n отличается от нуля. Члены этой последовательности при неограниченном возрастании n стремятся к нулю. Говорят, что число нуль есть предел этой последовательности.

Другой пример: x_n = (−1)ⁿ/n — определяет последовательность

Члены этой последовательности также стремятся к нулю, но они то больше нуля, то меньше нуля - своего предела.

Рассмотрим еще пример: x_n = (n − 1)/(n + 1). Если представить x_n в виде

(2)

то станет понятно, что эта последовательность стремится к единице.

Дадим определение предела последовательности. Число a называется пределом последовательности (x_n), если для любого положительного числа ε можно указать такой номер N, что при всех n > N выполняется неравенство |x_n − a| < ε.

Если a есть предел последовательности (x_n), то пишут x_n → a, или a = lim_n→∞ x_n (lim — три первые буквы латинского слова limes — «предел»).

Это определение станет понятнее, если ему придать геометрический смысл. Заключим число a в интервал (a − ε, a + ε) (см. рис.). Число а есть предел последовательности (x_n), если независимо от малости интервала (a − ε, a + ε) все члены последовательности с номерами, бо́льшими некоторого N, будут лежать в этом интервале. Иными словами, вне любого интервала (a − ε, a + ε) может находиться лишь конечное число членов последовательности.

Для рассмотренной последовательности x_n = (−1)ⁿ/n в ε-окрестность точки нуль при ε = 1/10 попадают все члены последовательности, кроме первых десяти, а при ε = 1/100 — все члены последовательности, кроме первых ста.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая предела — расходящейся. Вот пример расходящейся последовательности: x_n = (−1)ⁿ. Ее члены попеременно равны +1 и −1 и не стремятся ни к какому пределу.

Если последовательность сходится, то она ограничена, т. е. существуют такие числа c и d, что все члены последовательности удовлетворяют условию c ≤ x_n ≤ d. Отсюда следует, что все неограниченные последовательности расходящиеся. Таковы последовательности:

Стремящаяся к нулю последовательность называется бесконечно малой. Понятие бесконечно малой может быть положено в основу общего определения предела последовательности, так как предел последовательности (x_n) равен a тогда, и только тогда, когда x_n представимо в виде суммы x_n = a + α_n, где α_n бесконечно малая.

Рассмотренные последовательности (1/n), ((−1)ⁿ/n) являются бесконечно малыми. Последовательность (n − 1)/(n + 1), как следует из (2), отличается от 1 на бесконечно малую 2/(n + 1), и потому предел этой последовательности равен 1.

Большое значение в математическом анализе имеет также понятие бесконечно большой последовательности. Последовательность (x_n) называется бесконечно большой, если последовательность (1/x_n) бесконечно малая. Бесконечно большую последовательность (x_n) записывают в виде x_n → ∞, или lim_n→∞ x_n = ∞, и говорят, что она «стремится к бесконечности». Вот примеры бесконечно больших последовательностей:

(n²), (2ⁿ), (√(n + 1)), (n - n²).

Подчеркнем, что бесконечно большая последовательность не имеет предела.

Рассмотрим последовательности (x_n) и (y_n). Можно определить последовательности с общими членами x_n + y_n, x_n − y_n, x_ny_n и (если y_n ≠ 0) x_n/y_n. Справедлива следующая теорема, которую часто называют теоремой об арифметических действиях с пределами: если последовательности (x_n) и (y_n) сходящиеся, то сходятся также последовательности (x_n + y_n), (x_n − y_n), (x_ny_n), (x_n/y_n) и имеют место равенства:

В последнем случае необходимо потребовать, кроме того, чтобы все члены последовательности (y_n) были отличны от нуля, еще и чтобы выполнялось условие lim_n→∞ y_n ≠ 0.

Применяя эту теорему, можно находить многие пределы. Найдем, например, предел последовательности с общим членом

Представив x_n в виде

установим, что предел числителя и знаменателя существует:

поэтому получим:

lim_n→∞ x_n = 2/1 =2.

Важный класс последовательностей — монотонные последовательности. Так называют последовательности возрастающие (x_n+1 > x_n при любом n), убывающие (x_n+1 < x_n), неубывающие (x_n+1 ≥ x_n) и невозрастающие (x_n+1 ≤ x_n). Последовательность (n − 1 )/(n + 1) возрастающая, последовательность (1/n) убывающая. Можно доказать, что рекуррентно заданная последовательность (1) монотонно возрастает.

<addc>G</addc>

Представим себе, что последовательность (x_n) не убывает, т. е. выполняются неравенства

x₁ ≤ x₂ ≤ x₃ ≤ … ≤ x_n ≤ x_n+1 ≤ …,

и пусть, кроме того, эта последовательность ограничена сверху, т. е. все x_n не превосходят некоторого числа d. Каждый член такой последовательности больше предыдущего или равен ему, но все они не превосходят d. Вполне очевидно, что эта последовательность стремится к некоторому числу, которое либо меньше d, либо равно d. В курсе математического анализа доказывается теорема, что неубывающая и ограниченная сверху последовательность имеет предел (аналогичное утверждение справедливо для невозрастающей и ограниченной снизу последовательности). Эта замечательная теорема дает достаточные условия существования предела. Из нее, например, следует, что последовательность площадей правильных n-угольников, вписанных в окружность единичного радиуса, имеет предел, так как является монотонно возрастающей и ограниченной сверху. Предел этой последовательности обозначается π.

С помощью предела монотонной ограниченной последовательности определяется играющее большую роль в математическом анализе число е — основание натуральных логарифмов:

е = lim_n→∞ (1 + 1/n)ⁿ.

Последовательность (1), как уже отмечалось, монотонная и, кроме того, ограничена сверху. Она имеет предел. Мы легко найдем этот предел. Если он равен a, то число а должно удовлетворять равенству a = √(2 + a). Решая это уравнение, получаем a = 2.