Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называют последовательность (b_n), у которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное (для данной прогрессии) число q ≠ 0. Число q называют знаменателем прогрессии. Другими словами, геометрическая прогрессия - это последовательность, заданная по правилу: b₁ и q даны, b_n+1 = q•b_n при n ≥ 1. Случай, когда b₁ = 0, малоинтересен: получается последовательность из одних нулей. Поэтому в определение геометрической прогрессии часто включают условие b₁ ≠ 0.

Каждый член геометрической прогрессии с положительными членами, начиная со второго, равен среднему геометрическому последующего и предыдущего членов: b_n = √(b_n-1b_n+1). Этот факт отражается в названии рассматриваемой последовательности: геометрическая прогрессия. Верно и более общее свойство: b_n = √(b_n-1b_n+1) при n > k.

Справедливы следующие формулы (через S_n обозначена сумма первых n членов геометрической прогрессии):

b_n = b₁q^n-1, (1)

S_n = b₁(1-qⁿ)/(1-q) = (b₁-b_nq)/(1-q) при q ≠ 1. (2)

При q = 1 геометрическая прогрессия одновременно является и арифметической прогрессией, при этом S_n = nb_x.

При |q| < 1 существует предел суммы первых n членов геометрической прогрессии при n→∞, называемый суммой бесконечно убывающей прогрессии. Из формулы (2) нетрудно усмотреть, что этот предел равен

S = b₁/(1-q)

В своих сочинениях древнегреческий ученый Архимед неоднократно возвращался к вопросу о вычислении сумм прогрессий. Например, в трактате «О квадратуре параболы» он рассматривает задачу, эквивалентную задаче о нахождении суммы бесконечно убывающей прогрессии a, b, c, d, e, ..., знаменатель которой равен 1/4. Архимед решает эту задачу так: из определения прогрессии имеем a=4b, b=4c, c=4d, ..., поэтому b + c + d + e... + 1/3•(b + c + d + e + ...) = 4/3•(b + c + d + e + ...) = 1/3•(4b + 4с + 4d + 4e + ...) = 1/3•(a + b + c + d+ ...), откуда b + c + d + e + ... = 1/3•a и a + b + c + a + e + ... = 4/3•a.

Если q > 1, то члены геометрической прогрессии быстро растут. В результате при сравнительно небольших номерах п получаются числа-гиганты. С древнейших времен известны задачи и легенды, связанные с неправдоподобной на первый взгляд скоростью роста членов геометрической прогрессии 1, 2, 4, 8, 16, ... . Одна из наиболее известных легенд - легенда об изобретателе шахмат.

Индийский царь Шерам призвал к себе изобретателя шахмат (которого звали Сета) и предложил, чтобы он сам выбрал себе награду за создание интересной и мудрой игры. Царя изумила скромность просьбы, услышанной им от изобретателя: тот попросил выдать ему за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую - два, за третью еще в два раза больше, т. е. четыре, за четвертую - еще в два раза больше и т.д. Эта задача привлекла внимание Л. Н. Толстого. Приведем часть его расчета (шахматная доска здесь названа шашечницей): «Клеток в шашечнице 8 с одной стороны и 8 с другой; 8 рядов по 8 = 64

на 1-ю 1,

на 2-ю 2,

на 3-ю 4,

на 4-ю 8,

на 33-ю 4294967 296

на 34-ю 8 589934 592

на 35-ю 17 179 869 184

на 36-ю 34 359 738 368

на 62-ю 2 305 843 009213 693 952

на 63-ю 4 611 686 018 427 387 904

на 64-ю 9 223 372036 854 775 808

Если 40 000 зерен в одном пуде, то на одной последней клетке вышло 230 584 300 921 369 пудов». Общее число зерен составит число 18 446 744 073 709 551 615.

Формулы (1), (2), (3) остаются справедливыми и для геометрических прогрессий с комплексными числами. Например, с помощью формулы (3) для прогрессии, у которой

q = b₁ = cos φ + i•sin φ, и формулы Муавра

(cos φ + i•sin φ)ⁿ = cos nφ + i•sin nφ легко получить формулы

cos φ + cos 2φ + cos Зφ + ... + cos nφ = ((sin (2n+1)φ)/2 - sin φ/2)/(2sin φ/2),

sin φ + sin 2φ + sin Зφ + ... + sin nφ = (cos φ/2 - cos ((2n+1)φ/2)).