Периодическая дробь

Периодическая дробь — это бесконечная десятичная дробь, в которой, начиная с некоторого места, периодически повторяется определенная группа цифр. Например, 2,51313... . Обычно такую дробь записывают короче: 2,5(13), т.е. помещают повторяющуюся группу цифр в скобки и говорят: «13 в периоде». Примером непериодической бесконечной дроби может служить дробь 0,1010010001…, у которой количество нулей между единицами все время увеличивается на 1, а также дробь, представляющая собой любое другое иррациональное число, например √3. Если в периодической дроби повторяющаяся группа цифр расположена непосредственно после запятой, то такую дробь называют чистой, в противном случае — смешанной. Всякую периодическую дробь можно обратить в обыкновенную, т. е. периодические дроби являются числами рациональными. Чистая периодическая дробь, меньшая 1, равна такой правильной обыкновенной дроби, в числителе которой стоит период, а в знаменателе - число, изображенное цифрой 9, которая написана столько раз, сколько цифр в периоде.

Так, 0,(12) = 12/99 = 4/33 Теперь нетрудно обратить в обыкновенную дробь любую периодическую дробь. Покажем, как это делается, на примере:

3,1(3) = 3 + 0,1 + 0,0(3) = 3 + 1/10 + 1/10 • 3/9 = 47/15.

Вывод этого правила основан на формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. При решении обратной задачи (обращение обыкновенной дроби в десятичную) всегда получается либо конечная десятичная дробь, либо периодическая дробь. При этом конечная десятичная дробь получается тогда, когда знаменатель несократимой обыкновенной дроби не содержит никаких простых множителей, кроме 2 и 5; чистая периодическая - когда знаменатель несократимой обыкновенной дроби не делится ни на 2, ни на 5; во всех остальных случаях получается смешанная периодическая дробь.