Определитель матрицы
Определитель матрицы — число, поставленное по определенным правилам в соответствие квадратной матрице.
Определителем квадратной матрицы второго порядка
[math]A=\left( \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} \\ \end{matrix} \right)[/math] называют число [math]{{a}_{11}}{{a}_{22}}-{{a}_{12}}{{a}_{21.}}[/math]
Его обозначают [math]det A[/math], или
[math]\left| \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} \\ \end{matrix} \right|[/math]
Часто вместо слова «определитель» говорят «детерминант», откуда и взялось указанное обозначение.
Определитель третьего порядка определим через определители второго порядка:
[math]\left| \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} & {{a}_{13}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & {{a}_{23}} \\ {{a}_{31}} & {{a}_{32}} & {{a}_{33}} \\ \end{matrix} \right|=[/math] [math]{{ a}_{11}}\left| \begin{matrix} {{a}_{22}} & {{a}_{23}} \\ {{a}_{32}} & {{a}_{33}} \\ \end{matrix} \right|-[/math] [math]{{a}_{12}}\left| \begin{matrix} {{a}_{21}} & {{a}_{23}} \\ {{a}_{31}} & {{a}_{33}} \\ \end{matrix} \right|+[/math] [math]{{a}_{13}}\left| \begin{matrix} {{a}_{21}} & {{a}_{22}} \\ {{a}_{31}} & {{a}_{32}} \\ \end{matrix} \right|[/math]
<addc>G</addc>
Здесь первые множители в знакочередующейся сумме — числа первой строки, а вторые множители — определители матриц, полученных вычеркиванием строки и столбца, которым принадлежит первый множитель.
Порядок определителя можно увеличивать и дальше. Пусть определены определители матриц вплоть до [math](n-1)[/math]‑го порядка. Определителем матрицы [math]n[/math]‑го порядка
[math]A=\left| \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} & \cdots & {{a}_{1n}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & \cdots & {{a}_{2n}} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {{a}_{n1}} & {{a}_{n2}} & \cdots & {{a}_{nn}} \\ \end{matrix} \right|[/math]
назовем число
[math]\det A=[/math] [math]{{a}_{11}}\left| \begin{matrix} {{a}_{22}} & {{a}_{23}} & \cdots & {{a}_{2n}} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {{a}_{n2}} & {{a}_{n3}} & \cdots & {{a}_{nn}} \\ \end{matrix} \right|−[/math] [math]{{a}_{11}}\left| \begin{matrix} {{a}_{21}} & {{a}_{23}} & \cdots & {{a}_{2n}} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {{a}_{n1}} & {{a}_{n3}} & \cdots & {{a}_{nn}} \\ \end{matrix} \right|+…+[/math] [math]{{(-1)}^{n+1}}{{a}_{1n}}\left| \begin{matrix} {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & \cdots & {{a}_{2(n-1)}} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {{a}_{n1}} & {{a}_{n2}} & \cdots & {{a}_{n(n-1)}} \\ \end{matrix} \right|,[/math]
где вновь имеем знакочередующуюся сумму произведений, в которых один из множителей — элемент первой строки, а другой — определитель матрицы [math](n−1)[/math]‑го порядка, полученной вычеркиванием той строки и того столбца, которым принадлежит первый множитель.
Вычислим, например, определитель третьего порядка:
[math]\left| \begin{matrix} 3 & 2 & 1 \\ 4 & 5 & -7 \\ 2 & -1 & 3 \\ \end{matrix} \right|=[/math] [math]3\left| \begin{matrix} 5 & -7 \\ -1 & 3 \\ \end{matrix} \right|-[/math] [math]2\left| \begin{matrix} 4 & -7 \\ 2 & 3 \\ \end{matrix} \right|+[/math] [math]1\left| \begin{matrix} 4 & 5 \\ 2 & -1 \\ \end{matrix} \right|=[/math] [math]3(5\cdot 3-(-7)(-1))-[/math] [math]2(4\cdot 3-(-7)\cdot 2)+[/math] [math]1(4(-1)-5\cdot 2)=[/math] [math]24-52-14=-42.[/math]
Определители играют важную роль в решении систем линейных уравнений.
Любопытно, что если составить из координат двух векторов [math]\vec{a}=({{a}_{1}},{{a}_{2}})[/math] и [math]\vec{b}=({{b}_{1}},{{b}_{2}})[/math] определитель
[math]\left| \begin{matrix} {{a}_{1}} & {{a}_{2}} \\ {{a}_{1}} & {{a}_{2}} \\ \end{matrix} \right|,[/math]
то его величина, с точностью до знака, равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах (рис. 1), а для трех векторов в пространстве [math]\vec{a}=({{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}})[/math], [math]\vec{b}=({{b}_{1}},{{b}_{2}},{{b}_{3}})[/math], [math]\vec{c}=({{c}_{1}},{{c}_{2}},{{c}_{3}})[/math] определитель
[math]\left| \begin{matrix} {{a}_{1}} & {{a}_{2}} & {{a}_{3}} \\ {{b}_{1}} & {{b}_{2}} & {{b}_{3}} \\ {{c}_{1}} & {{c}_{2}} & {{c}_{3}} \\ \end{matrix} \right|,[/math]
равен, опять с точностью до знака, объему параллелепипеда, построенного на этих векторах (рис. 2).
Определитель матрицы. Рис. 1.
Определитель матрицы. Рис. 2.
