Матрица

Матрица — прямоугольная таблица, составленная из чисел.

Располагать те или иные данные в виде прямоугольных таблиц приходится довольно часто. Например, если три завода выпускают пять различных видов продукции, то отчет о производстве за год может быть дан в виде таблицы

[math]X=\left( \begin{matrix} {{x}_{11}} & {{x}_{12}} & {{x}_{13}} & {{x}_{14}} & {{x}_{15}} \\ {{x}_{21}} & {{x}_{22}} & {{x}_{23}} & {{x}_{24}} & {{x}_{25}} \\ {{x}_{31}} & {{x}_{32}} & {{x}_{33}} & {{x}_{34}} & {{x}_{35}} \\ \end{matrix} \right)[/math]

где [math]{{x}_{ij}}[/math] — количество продукции j‑го вида, выпущенное [math]i[/math]‑м заводом в течение этого года. Кратко будем обозначать эту таблицу [math]X=({{x}_{ij}})[/math] и назовем её прямоугольной матрицей с тремя строками и пятью столбцами. Аналогично определяется понятие прямоугольной матрицы с [math]m[/math] строками и [math]n[/math] столбцами (или, короче, [math](m×n)[/math] — матрицы). При [math]m=n[/math] такую матрицу называют квадратной, а число [math]n[/math] — порядком этой матрицы.

Если ассортимент продукции не изменился в течение следующего года, то отчет о производстве за второй год тоже имеет вид матрицы [math]Y=({{y}_{ij}})[/math]. Но тогда выпуск продукции за два года выражается матрицей [math]X+Y=({{x}_{ij}}+{{y}_{ij}})[/math]. Вообще, при сложении двух [math](m×n)[/math] — матриц складываются соответствующие элементы этих матриц. Если же в течение второго года производство каждого вида продукции на каждом заводе увеличилось на 20%, то для любых [math]i, j[/math] верно равенство [math]{{y}_{ij}}=1,2\cdot {{x}_{ij}}[/math]. В этом случае пишут [math]Y=1,2X[/math]. Чтобы умножить матрицу [math]X[/math] на число [math]λ[/math], надо умножить на это число каждый элемент матрицы.

Выпуск продукции можно выражать не только в штуках, метрах или тоннах, но и в рублях. Для этого надо знать цену каждого вида продукции. Поскольку она может меняться от года к году, обозначим через [math]{{λ}_{ij}}[/math] цену [math]j[/math]‑го вида продукции в [math]k[/math]‑й год. Эти цены можно записать в виде [math](m×s)[/math]‑матрицы [math]Λ[/math], где [math]n[/math] — число видов продукции и [math]s[/math] — число лет. Например, при [math]s=4[/math] имеем матрицу

[math]Λ =\begin{matrix} {{λ}_{11}} & {{λ}_{12}} & {{λ}_{13}} & {{λ}_{14}} \\ {{λ}_{21}} & {{λ}_{22}} & {{λ}_{23}} & {{λ}_{24}} \\ {{λ}_{31}} & {{λ}_{32}} & {{λ}_{33}} & {{λ}_{34}} \\ {{λ}_{41}} & {{λ}_{42}} & {{λ}_{43}} & {{λ}_{44}} \\ {{λ}_{51}} & {{λ}_{52}} & {{λ}_{53}} & {{λ}_{54}} \\ \end{matrix}[/math]

Выпуск продукции [math]i[/math]‑м заводом за [math]k[/math]‑й год, выраженный в рублях, составит величину

[math]{{a}_{ik}}={{x}_{i1}}{{λ}_{1k}}+{{x}_{i2}}{{λ}_{2k}}+\ldots +{{x}_{in}}{{λ}_{nk,}}[/math]

(1)

где каждое слагаемое есть произведение величины выпуска соответствующего вида продукции в выбранных единицах на стоимость единицы этой продукции в рублях. Числа [math]{{a}_{ik}}[/math] образуют матрицу [math]A[/math] с [math]m[/math] (у нас [math]m=5[/math]) строками и [math]s[/math] (у нас [math]s=4[/math]) столбцами. Такую матрицу принято называть произведением матриц [math]X[/math] и [math]Λ[/math]:

[math]A=XΛ.[/math]

Итак, если [math]X[/math] является [math](m×n)[/math]‑матрицей, а [math]A[/math] — [math](n×s)[/math]‑матрицей, то их произведением называют ([math]m×s)[/math]‑матрицу [math]A=XΛ[/math], состоящую из элементов, определяемых по формуле (1). При умножении квадратных матриц [math]n[/math]‑го порядка снова получается квадратная матрица [math]n[/math]‑го порядка.

<addc>G</addc>

Особую роль играет матрица [math]E[/math]

[math]E=\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end{matrix}[/math]

у которой вдоль диагонали из верхнего левого угла в правый нижний стоят единицы, а остальные элементы равны нулю; для любой квадратной матрицы [math]n×n[/math] [math]X[/math] имеем: [math]XE=EX=X[/math], т. е. она играет роль единицы. Если определитель квадратной матрицы [math]X[/math] отличен от нуля, то существует обратная ей матрица [math]{{X}^{-1}}[/math], такая, что [math]X{{X}^{-1}}={{X}^{-1}}X=E[/math]. Возникает матричная алгебра, в которой верны многие правила обычной алгебры, например [math](XY)Z=X(YZ),[/math], [math]X(Y+Z)=XY+XZ[/math] и т.д. Однако умножение не является коммутативным, т. е., вообще говоря, [math]XY\ne YX[/math].

Впервые матрицы встретились в математике в связи с решением систем линейных уравнений. С системой уравнений

[math]\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{a}_{11}}{{x}_{1}}+\ldots +{{a}_{1n}}{{x}_{n}}={{l}_{1}} \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\ {{a}_{m1}}{{x}_{1}}+\ldots +{{a}_{mn}}{{x}_{n}}={{l}_{m}} \\ \end{array} \right.[/math]

(2)

связаны матрица [math]A=({{a}_{ij}})[/math], составленная из коэффициентов этих уравнений, и расширенная матрица, получаемая добавлением к матрице [math]A[/math] столбца свободных членов. Операции, производимые при решении системы уравнений (2), можно выполнять непосредственно над расширенной матрицей. Такую запись решения применяли древнекитайские математики во II в. до н. э., а в европейской науке матричная запись систем линейных уравнений применяется с XIX в.

В наши дни теория матриц находит обширные приложения в вычислительной математике, физике, экономике и других областях науки.