Дифференциальные уравнения

Математический анализ как анализ переменных величин с момента своего появления развивался в тесной связи с естествознанием, и в частности с физикой и механикой. Потребности развития физических наук, необходимость количественного изучения движения и меняющихся процессов привели к возникновению и формированию основных понятий дифференциального исчисления и интегрального исчисления. Понятие дифференциального уравнения — одно из основных. Чтобы разъяснить это понятие, рассмотрим, из чего складывается изучение какого-либо физического процесса. Это — создание физической гипотезы, основанной на эксперименте, математическая форма записи физической гипотезы, математическое решение этой задачи и физическое толкование выводов из её решения. Такой подход к изучению явлений природы впервые был предложен итальянским ученым Г. Галилеем (1564–1642). Впервые его блестяще применил один из создателей математического анализа — И. Ньютон. Математически сформулировать физические законы оказалось возможным лишь с появлением математического анализа и на его языке.

В очень большом числе случаев физические законы описывают некоторые соотношения между величинами, характеризующими изучаемый процесс, и скоростью изменения этих величин. Другими словами, эти законы выражаются равенствами, в которых участвуют неизвестные функции и их производные. Такие равенства называются дифференциальными уравнениями. Они появляются как математическая форма записи ряда физических законов. Изучение процессов, описываемых этими законами, сводится к изучению свойств решений дифференциальных уравнений. Поясним это на примерах.

Пусть тело (например, металлическая пластина), нагретое до температуры y₀, в момент времени t = 0 погружается в очень большой сосуд с воздухом нулевой температуры. Очевидно, тело начнет охлаждаться, и его температура будет функцией времени t. Обозначим её y(t).

Согласно закону охлаждения Ньютона, скорость изменения температуры тела, т. е. производная dy/dt пропорциональна разности температур тела и окружающей среды, в данном случае пропорциональна y(t). Таким образом получаем, что в каждый момент времени справедливо соотношение

[math]\frac{dy}{dt}=-ky[/math]

(1)

(k — положительный коэффициент, зависящий от материала тела, знак «минус» потому, что температура убывает).

Это соотношение (1) в виде дифференциального уравнения является математической записью закона охлаждения, которое выражает зависимость между функцией (температурой) и её производной в один и тот же момент времени. Его также называют математической моделью рассматриваемого процесса.

Решить дифференциальное уравнение — значит найти все функции y(t), которые обращают уравнение в тождество. Все решения приведенного выше дифференциального уравнения даются формулой

[math]y=C{{e}^{-kt}}[/math]

(где C — произвольная постоянная), которая представляет собой его общее решение. Нахождение решения дифференциального уравнения всегда связано с операцией интегрирования, поэтому вместо слова «решить» часто употребляется глагол «проинтегрировать» (дифференциальное уравнение).

В процессе охлаждения тела, который мы рассматриваем, нас интересует лишь то решение, которое в момент времени t = 0 принимает значение y₀. Подставляя в приведенную выше формулу t = 0, находим: C = y₀. Значит, закон охлаждения окончательно можно выразить так:

[math]y(t)={{y}_{0}}{{e}^{-kt}}.[/math]

Как видим, температура тела с течением времени понижается по показательному (экспоненциальному) закону и стремится к температуре окружающей среды (рис. 1).

Условие [math]y(0)={{y}_{0}}[/math] принято называть начальным, оно позволяет из бесконечного множества решений выбрать единственное.

Рассмотренное дифференциальное уравнение (1) выражает тот факт, что скорость изменения функции пропорциональна (с коэффициентом −k) самой функции. Такая зависимость наблюдается и в других явлениях природы, например падение атмосферного давления в зависимости от высоты над уровнем моря пропорционально величине давления. Еще пример — радиоактивный распад: скорость уменьшения массы радиоактивного вещества пропорциональна количеству этого вещества. Следовательно, атмосферное давление у как функция высоты t над уровнем моря и масса радиоактивного вещества y как функция времени t удовлетворяют уравнению (1). Как видим, одно и то же дифференциальное уравнение может служить математической моделью совершенно разных явлений.

Рассмотрим небольшой шарик массой m, к которому прикреплена горизонтально расположенная пружина. Другой её конец закреплен (рис. 2). Направим ось O_x вдоль оси пружины, за начало координат примем положение равновесия шарика. Если немного сместить шарик вдоль оси, то возникнет упругая сила F, стремящаяся вернуть его в положение равновесия. По закону Гука, эта сила пропорциональна смещению x, т. е. F = −kx (k — положительная константа, характеризующая упругие свойства пружины, знак «минус» ставится потому, что сила восстанавливающая). Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на тело массой m, равна произведению массы на ускорение a:

[math]F=ma.[/math]

Если же x(t) — положение шарика в момент времени t, то его ускорение выражается второй производной x″(t). Таким образом, движение шарика под действием упругих сил можно выразить дифференциальным уравнением

[math]m{x}''(t)=-kx(t),[/math]

которое чаще записывается в виде

[math]{x}''(t)+{{\omega }^{2}}x(t)=0,[/math] где [math]{{\omega }^{2}}=k/m.[/math]

Это уравнение называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Можно доказать, что любое его решение может быть записано в виде

[math]x(t)=A\cos (\omega t+\varphi ),[/math]

здесь А и φ — произвольные постоянные. Движения, характеризуемые таким уравнением, называются гармоническими колебаниями. Они представляют собой периодическое движение (рис. 3) с периодом T = 2π/ω; величина А называется амплитудой колебания.

Очевидно, что дифференциальное уравнение [math]{x}''(t)+{{\omega }^{2}}x(t)=0[/math] не вполне определяет движение шарика. Оно зависит от того, на какую величину x₀ шарик был смещен в момент времени t = 0 и с какой скоростью [math]v={x}'(0)[/math] он отпущен, т. е. зависит от начальных данных. Если, например, скорость была нулевой, то движение шарика будет подчиняться закону

[math]x(t)={{x}_{0}}\cos \omega t.[/math]

Полученное нами выше дифференциальное уравнение есть математическая форма записи (математическая модель) закона движения под действием только силы упругости. Если рассмотреть движение шарика в среде, оказывающей сопротивление, и предположить, что кроме сил упругости на шарик действует сила сопротивления, пропорциональная скорости движения, то дифференциальное уравнение такого движения будет иметь вид:

[math]m{x}''(t)+c{x}'(t)+kx(t)=0.[/math]

Решения этого уравнения уже не являются периодическими функциями, а представляют собой колебания с изменяющейся амплитудой, так называемые затухающие колебания (рис. 4).

Если неизвестная функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным; таковы рассмотренные выше уравнения. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в него. Как видим, уравнение [math]dy/dt=-ky[/math] первого порядка, уравнение [math]{x}''(t)+{{\omega }^{2}}x(t)=0[/math] — второго.

Если неизвестная функция зависит от нескольких переменных, то дифференциальное уравнение содержит её частные производные и называется дифференциальным уравнением с частными производными. Такие уравнения описывают, например, колебание мембраны, распространение тепла в некоторой среде, движение спутника.

Дифференциальные уравнения — важный математический аппарат в естествознании. Они применяются в физике и астрономии, аэродинамике и теории упругости, химии и экономике, биологии и медицине.

Дифференциальное уравнение первого порядка вида [math]dx/dt=f(x,t)[/math] допускает простую геометрическую интерпретацию. Если [math]x=\varphi (t)[/math] — его решение, то это уравнение в каждой точке кривой [math]x=\varphi (t)[/math] задает значение производной [math]dx/dt[/math], т. е. значение тангенса угла наклона касательной. Таким образом, в каждой точке области определения функции [math]f(x,t)[/math] задается угловой коэффициент касательной к решению, как говорят, задается поле направлений. Геометрически поле направлений обычно изображается единичными векторами. На рис. 5 представлено поле направлений дифференциального уравнения [math]dx/dt={{t}^{2}}+{{x}^{2}}[/math].

Решение дифференциального уравнения есть кривая, которая в каждой точке касается поля направлений, её называют интегральной кривой. Рис. 5 позволяет довольно ясно представить, как должны выглядеть интегральные кривые этого уравнения.

В XVIII в. теория дифференциальных уравнений выделилась из математического анализа в самостоятельную математическую дисциплину. Её успехи связаны с именами швейцарского ученого И. Бернулли, французского математика Ж. Лагранжа и особенно Л. Эйлера. Первый период развития дифференциальных уравнений был связан с успешным решением некоторых важных прикладных задач, приводящих к дифференциальным уравнениям, разработкой методов интегрирования различных видов дифференциальных уравнений и поиском классов интегрируемых уравнений, т. е. таких, решение которых может быть найдено в квадратурах (в виде элементарных функций или их первообразных). Однако очень скоро выяснилось, что интегрируемых уравнений совсем не много. Даже уравнение первого порядка очень простого вида может не интегрироваться в квадратурах. Например, уравнение, для которого на рис. 5 было изображено поле направлений, имеет бесконечно много решений, но они не выражаются в квадратурах.

Установление таких фактов привело к развитию собственно теории дифференциальных уравнений, которая занимается разработкой методов, позволяющих по свойствам дифференциального уравнения определять свойства и характер его решения.