Элементарные функции

Основными элементарными функциями считаются: многочлен, рациональная функция, которая представляет собой отношение двух многочленов, степенная функция, показательная функция, логарифмическая функция, тригонометрические функции и обратные тригонометрические функции.

К элементарным функциям относятся и те функции, которые получаются из элементарных путем применения (конечного числа раз) основных четырех арифметических действий и образования сложной функции. Приведем несколько примеров элементарных функций:

f₁(x) = ³√(1 + (x - 1)/(x² + 1)),

f₂(x) = cos lg x,

f₃(x) = x2^x + arctg x,

f₄(x) = log₃ ((x² - 9)/sin 2x),

f₅(x) = x^{sin x} - sin tg x.

Отметим, что функция f(x) = |x| также является элементарной, поскольку |х| = √(х²).

Элементарные функции наиболее изучены и часто используются в приложениях математики.

Хотя понятие функции сформировалось лишь в XVII в., однако зависимости между двумя величинами рассматривались и ранее. К XVII в. почти все основные элементарные функции были достаточно хорошо изучены: к этому времени уже были составлены высокой точности таблицы значений тригонометрических функций и появились первые таблицы логарифмов. Дифференциальное исчисление дало законченное исследование основных элементарных функций, в частности было установлено, что производная от элементарной функции есть также элементарная функция.

Развитие математического анализа, решение различных прикладных задач привели к рассмотрению функций, которые не являются элементарными. Например, не выражаются через элементарные функции решения дифференциальных уравнений:

у' = е^x/х, у' = е^x2.

При изучении неэлементарных функций их, как правило, выражают через элементарные с помощью пределов, интегралов, бесконечных рядов и исследуют методами математического анализа.