Электродинамика

Электродинамика — раздел физики, изучающий взаимодействие электрических зарядов. Он включает в себя электростатику как некоторый частный и наиболее простой случай взаимодействия неподвижных зарядов. Взаимодействие между движущимися зарядами удается описать благодаря использованию в электродинамике понятий электрического и магнитного полей, причем часто невозможно отделить одно поле от другого, и поэтому говорят об электромагнитном поле.

Опыт показывает, что силу, действующую на движущийся заряд, можно представить как сумму двух слагаемых:

F^→ = (электрическая сила) + (магнитная сила).

Первое слагаемое не зависит от того, движется заряд или он неподвижен, и в связи с этим электрическая сила имеет в точности такое же выражение, как и в электростатике:

(электрическая сила) = q•E^→,

где q — величина заряда, Е^→ — напряженность электрического поля. Второе слагаемое, которое называют силой Лоренца, зависит от скорости частицы и связано с магнитным полем. Если напряженность электрического поля задается в каждой точке вектором Е^→, то величина магнитного поля характеризуется вектором В^→, называемым вектором магнитной индукции.

Создается магнитное поле, в отличие от электрического, только движущимися зарядами. Выражение для силы Лоренца выглядит сложнее, чем для электрической силы, по абсолютной величине она равна:

(магнитная сила) = q|v^→|•|B^→|•sin α.

Сила Лоренца пропорциональна заряду частицы q, ее скорости v^→ и зависит от направления движения заряда. Угол α — это угол между вектором скорости и вектором индукции B^→. Направление силы Лоренца определяется следующим образом: сила Лоренца всегда перпендикулярна вектору магнитной индукции, и это означает, что B^→ указывает то выделенное направление в пространстве, вдоль которого не действуют магнитные силы; кроме того, вектор силы Лоренца перпендикулярен и вектору скорости заряда v^→. Окончательное направление силы (например, вверх или вниз на рисунке) можно определить с помощью правила левой руки (для отрицательного заряда направление силы изменится на противоположное). Поскольку сила Лоренца перпендикулярна скорости (и перемещению заряда), то работа этой силы всегда равна нулю. Магнитное поле не может изменить величину скорости заряженной частицы, изменяется лишь направление скорости. Так, в однородном магнитном поле (В = const) траектория заряженной частицы, движущейся перпендикулярно магнитному полю, представляет собой окружность.

На практике мы, как правило, имеем дело не с отдельными зарядами, а с потоками очень большого числа частиц. Поток заряженных частиц называется электрическим током, причем принято считать, что направление электрического тока совпадает с направлением движения положительных зарядов. Силой тока сквозь поверхность S называется величина, равная полному заряду, который проходит через эту поверхность за единицу времени. Например, сила тока в проводнике — это величина заряда, который проходит за 1 с через все поперечное сечение проводника.

В проводниках (например, в металлах) обычно содержится колоссальное количество зарядов, и поэтому эти заряды очень хорошо скомпенсированы: количества положительных и отрицательных зарядов равны между собой. Следовательно, суммарная электрическая сила, действующая на проводник, равна нулю. Магнитные же силы, действующие на отдельные заряды в проводнике, не компенсируются, так как при наличии тока скорости движения положительных и отрицательных зарядов различны. Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле, равна:

F = I•l•|B^→|•sin α.

Здесь I — сила тока, l — длина проводника, α — угол между магнитным полем и направлением тока. Это равенство, называемое законом Ампера, исторически было получено раньше, чем сила Лоренца, однако сила Ампера — это есть не что иное, как сумма сил Лоренца, действующих на отдельные заряды в проводнике.

Таким образом, если нам известны электрическое и магнитное поля (E^→ и B^→), то по известным правилам можно подсчитать силы, действующие на движущийся заряд (или электрический ток), и поэтому задача расчета взаимодействия движущихся зарядов сводится к расчету электромагнитного поля. В электродинамике электромагнитное поле описывается 4 уравнениями Дж. Максвелла. Для того чтобы познакомиться с ними, необходимо определить понятия потока электрического и магнитного полей. Проще всего это сделать, используя аналогию с потоком жидкости сквозь площадку S, показанную на рисунке. Очевидно, за 1 с площадки S достигнут частицы жидкости, расположенные от нее не дальше чем на расстоянии l = |v^→|; объем жидкости, который за это время протечет через площадку, равен:

G = |v^→|•S•cos α.

Если рассматривать не жидкость, а поток заряженных частиц (электрический ток), то поток заряда, проходящий через площадку за 1 с,— это и есть сила тока, равная: I = ρ•|v^→|•S•cos α,

где ρ — плотность заряда (в единице объема в потоке). Теперь по аналогии можно чисто формально определить поток электрического поля

Φ_E = |E^→|•S•cos α

и магнитного поля

Φ_B = |B^→|•S•cos α.

Если магнитное и электрическое поле меняется от точки к точке на площадке, то в выражениях для потоков, как и в случае с жидкостью, нужно подставить средние значения E^→ и B^→ на площадке.

Запишем первое уравнение Максвелла:

Φ_E - поток электрического поля через любую замкнутую поверхность

(q_q + q + ...) - сумма зарядов внутри этой поверхности

Φ_E = (q_q + q + ...)/ε₀, (1)

где ε₀ — константа, называемая электрической постоянной.

Как бы мы ни меняли расположение зарядов внутри выбранной нами поверхности, окружающей некоторый объем, поток электрического поля через эту поверхность остается одним и тем же. В электростатике это уравнение называется теорем, ой Гаусса, оно эквивалентно закону Кулона. Но в отличие от закона Кулона теорема Гаусса справедлива и в общем случае, когда заряды движутся.

Второе уравнение Максвелла описывает явление электромагнитной индукции, открытое М. Фарадеем. Если поток магнитного поля, проходящий сквозь площадку, ограниченную замкнутым контуром (например, гибкой проволочкой), изменяется во времени, то в этом контуре возникает ЭДС индукции, равная ε = -Φ_B'(t) (здесь Φ_B — это производная по времени от магнитного потока). Выражение для потока магнитного поля включает в себя три сомножителя: B•S•cos α, и совершенно не важно, по какой причине поток через контур меняется со временем: изменяется ли магнитное поле, площадь контура или его ориентация, т. е. угол α,— в любом случае результат будет одинаковым. Не требуется, чтобы контур был проводящим; это может быть любой воображаемый контур. Другое дело, если на место этого контура поместить проводник — по проводнику под действием ЭДС потечет электрический ток. ЭДС индукции — это работа, которую совершает электрическое поле при перемещении единичного положительного заряда по замкнутому контуру, т. е. произведение средней силы, действующей на заряд вдоль контура, на длину контура l. Но сила, которая действует на единичный положительный заряд, равна касательной к контуру составляющей вектора напряженности. Если обозначить эту составляющую E_τ и заменить в законе Фарадея ε на E_τ•l, то получится второе уравнение Максвелла:

E_τ - среднее значение касательной к контуру составляюшей

l - длина контура

Φ_B'(t) - поток через площадь, ограниченную контуром

E_τ x l = -Φ_B'(t). (2)

В электростатике правая часть уравнения (2) обращается в нуль, а это означает, что работа электрических сил при перемещении заряда по любому замкнутому контуру тоже равна нулю. Это замечательное свойство электрического поля, которое в электростатике позволило ввести электрический потенциал, исчезает, как только появляется переменное магнитное поле. Переменное магнитное поле создает вихревое электрическое поле, силовые линии которого замкнуты и работа которого на замкнутом контуре уже не равна нулю. В общем случае полное электрическое поле складывается из поля, создаваемого электрическими зарядами, и вихревого электрического поля, возникающего от переменных магнитных полей. Явление электромагнитной индукции лежит в основе работы генераторов электрического тока на электростанциях, а в физических исследованиях вихревые электрические поля используются в ускорителях заряженных частиц.

Вторая пара уравнений Максвелла описывает магнитные поля:

Φ_B - поток магнитного поля через любую замкнутую поверхность

Φ_B = 0. (3)

Третье уравнение Максвелла отражает тот факт, что в природе нет магнитных зарядов. Как известно из электростатики, силовые линии электрического поля начинаются на положительных и кончаются на отрицательных зарядах. Если мы проведем силовые линии магнитного поля, то они всегда будут замкнутыми либо уйдут на бесконечность. Следовательно, сколько силовых линий входит внутрь замкнутой, т. е. ограничивающей некоторый объем, поверхности, столько и выходит из нее, и поэтому полный поток магнитного поля через замкнутую поверхность всегда равен нулю.

Магнитное поле создают движущиеся заряды, т. е. электрический ток, и это явление описывается четвертым уравнением Максвелла. Запишем его сначала так, как оно выглядит в магнитостатике (раздел электродинамики, изучающий магнитное поле, создаваемое постоянными электрическими токами). Как и второе уравнение, оно записывается для произвольного замкнутого контура, только вместо касательной к контуру составляющей напряженности электрического поля в правую часть будет входить касательная составляющей вектора индукции B^τ:

B^τ - среднее значение касательной к контуру составляющей вектора

l - длина контура

μ₀•I - электрический ток сквозь поверхность, ограниченную контуром

B^τ x l = μ₀•I. (4а)

Здесь μ₀ — это константа, которая называется магнитной постоянной.

Прямой проводник с током создает магнитное поле, силовые линии которого представляют собой концентрические окружности с центром на оси проводника. Для того чтобы с помощью уравнения (4а) рассчитать величину магнитного поля на расстоянии г от провода, выберем контур, совпадающий с силовой линией. Тогда B^τ = |B^→|, l = 2πr, и из уравнения (4а) получаем: В = μ₀•I/2πr. Так же можно рассчитать и магнитное поле рамки с током (только сделать это сложнее), картина силовых линий которого изображена на рисунке. Магнитное поле тока пропорционально силе тока I в рамке, а значит, пропорциональным I будет и поток собственного магнитного поля через рамку: Φ_B = L•I. Коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью рамки. Если ток в рамке будет изменяться со временем, то будет изменяться и поток собственного магнитного поля, а это означает, что в рамке возникнет ЭДС индукции, равная ε = -L•I'(t). Это явление называют самоиндукцией. Знак «—» в правой части последнего соотношения (как и в уравнении 2) отражает правило Ленца: ЭДС индукции всегда стремится препятствовать изменению магнитного потока через контур.

Уже говорилось, что переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле (явление электромагнитной индукции). Максвелл теоретически предсказал, что магнитное поле может создаваться не только электрическим током, но и переменным электрическим полем. Согласно Максвеллу, в правой части уравнения (4а) должно стоять дополнительное слагаемое, пропорциональное скорости изменения электрического поля, и полностью четвертое уравнение Максвелла выглядит так:

B^τ•l = μ₀•I + μ₀•ε₀•Φ_E'(t). (4)

Здесь Φ_E — это поток электрического поля сквозь произвольный контур.

Если переменное электрическое поле порождает магнитное, а переменное магнитное поле порождает электрическое, то электромагнитное поле может существовать и в отсутствие зарядов. В вакууме электромагнитное поле существует в виде электромагнитных волн, которые распространяются со скоростью с≈3•10⁸ м/с, т. е. со скоростью света (свет — это тоже электромагнитные волны). Электромагнитные волны обладают энергией и импульсом, и, следовательно, электромагнитное поле — это не просто формальный способ описания взаимодействия зарядов, а такая же физическая реальность, как заряды и электрические токи. Существование электрических волн, которые впервые на опыте наблюдал Г. Герц, прекрасно подтверждает теоретическое предположение Дж. Максвелла.