Экстремум функции

Рассмотрим два зубца хорошо всем известного профиля пилы. Направим ось Ох вдоль ровной стороны пилы, а ось Оу - перпендикулярно к ней. Получим график некоторой функции, изображенный на рис. 1.

Совершенно очевидно, что и в точке а₁, и в точке а₂ значения функции оказываются наибольшими в сравнении со значениями в соседних точках справа и слева, а в точке b₂ - наименьшим в сравнении с соседними точками. Точки a₁, а₂, b₂ называются точками экстремума функции (от латинского extremum- «крайний»), точки a₁ и а₂ - точками максимума, а точка b₂ - точкой минимума (от латинских maximum и minimum - «наибольший» и «наименьший»).

Уточним определение экстремума.

Говорят, что функция f(х) в точке х₀ имеет максимум, если найдется интервал, содержащий точку х₀ и принадлежащий области определения функции, такой, что для всех точек х этого интервала оказывается f(х) < f(х₀). Соответственно функция f(х) в точке х₀ имеет минимум, если для всех точек некоторого интервала выполняется условие f(х) > f(х₀).

На рис. 2 и 3 приведены графики функций, имеющие в точке х 0 экстремум.

Обратим внимание на то, что по определению точка экстремума должна лежать внутри промежутка задания функции, а не на его конце. Поэтому для функции, изображенной на рис. 1, нельзя считать, что в точке b₁ она имеет минимум.

Если в данном определении максимума (минимума) функции заменить строгое неравенство на нестрогое f(х) ≤ f(х₀) (f(х) ≥ f(х₀), то получим определение нестрогого максимума (нестрогого минимума). Рассмотрим для примера профиль вершимы горы (рис. 4). Каждая точка х плоской площадки - отрезка [х₁,х₂] является точкой нестрогого максимума.

В дифференциальном исчислении исследование функции на экстремумы очень эффективно и достаточно просто осуществляется с помощью производной. Одна из основных теорем дифференциального исчисления, устанавливающая необходимое условие экстремума дифференцируемой функции,- теорема Ферма (см. Ферма теорема). Пусть функция f(х) в точке х₀ имеет экстремум. Если в этой точке существует производная f'(x₀), то она равна нулю.

На геометрическом языке теорема Ферма означает, что в точке экстремума касательная к графику функции горизонтальна (рис. 5). Обратное утверждение, разумеется, неверно, что показывает, например, график на рис. 6.

Теорема названа в честь французского математика П. Ферма, который одним из первых решил ряд задач на экстремум. Он еще не располагал понятием производной, но применял при исследовании метод, сущность которого выражена в утверждении теоремы.

Достаточным условием экстремума дифференцируемой функции является смена знака производной. Если в точке х₀ производная меняет знак с минуса на плюс, т.е. ее убывание сменяется возрастанием, то точка х₀ будет точкой минимума. Напротив, точка х₀ будет точкой максимума, если производная меняет знак с плюса на минус, т.е. переходит от возрастания к убыванию.

Точка, где производная функции равна нулю, называется стационарной. Если исследуется на экстремум дифференцируемая функция, то следует найти все ее стационарные точки и рассмотреть знаки производной слева и справа от них.

Исследуем на экстремум функцию у = X³ (х - 5)².

Найдем ее производную: у' = 5х²(х - 5)(х - 3).

Определяем стационарные точки: х₁ = 0, х₂ = 3, х₃ = 5. Нетрудно заметить, что в интервалах между стационарными точками знак производной не изменяется, на каждом из интервалов он отмечен на рис. 7. Используя достаточное условие экстремума, можно сделать заключение: в точке х₁ = 0 экстремума нет; точка х₂ = 3 - точка максимума; точка х₃ = 5 - точка минимума.

Находим значения функции в точках экстремума: у(3)= 108, у(5) = 0. График функции показан на рис. 8.

Заметим, что возможны случаи, когда экстремум достигается в точке, в которой производная не существует. Таковы точки экстремума у профиля пилы, пример такой функции дан и на рис. 1.

Задачи на максимум и минимум имеют важнейшее значение в физике, механике, различных приложениях математики. Они были теми задачами, которые привели математику к созданию дифференциального исчисления, а дифференциальное исчисление дало мощный общий метод решения задач на экстремум с помощью производной.