Факториал

Так называют часто встречающуюся в практике функцию, определенную для целых неотрицательных чисел. Название функции происходит от английского математического термина factor - «сомножитель». Обозначается она [math]n![/math]. Для каждого целого положительного числа [math]n[/math] функция [math]n![/math] равна произведению всех целых чисел от [math]1[/math] до [math]n[/math]. Например: [math]4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24[/math]. Для удобства полагают по определению [math]0!=1[/math]. Особенно часто встречается факториал в комбинаторике. Например, количество способов выстроить [math]n[/math] школьников в одну шеренгу равняется [math]n![/math].

Функция [math]n![/math] растет с увеличением [math]n[/math] очень быстро. Так, [math]1!=1,[/math] [math]2!=2,[/math] [math]3!=6,[/math] [math]4!=24,[/math] [math]5!=120,[/math] [math]...,[/math] [math]10!=3 628 800.[/math]

Английский математик Дж. Стирлинг в 1730 г. предложил очень удобную формулу для приближенного вычисления функции [math]n![/math]:

[math]n!\approx \sqrt{2\pi n}{{n}^{n}}{{e}^{-n}},[/math] [math]n\to 0.[/math]

Относительная ошибка при пользовании этой формулой очень невелика и быстро падает при увеличении числа [math]n[/math].