ФИБОНАЧЧИ ЧИСЛА

Имя Леонардо Фибоначчи (Леонардо Пизанского) - крупного итальянского математика, автора «Книги об абаке» (1202), которая несколько веков оставалась основным хранилищем сведений по арифметике и алгебре, сейчас встречается чаще всего в связи с замечательной числовой последовательностью 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ....

Эта последовательность определяется условиями : u₁ = 1, u₂ = 1, u_n+1 = u_n + u_n-1 (для каждого натурального n > 1). Ее члены называются числами Фибоначчи. Они возникают в самых разных математических ситуациях - комбинаторных, числовых, геометрических.

Если вы любите отыскивать числовые закономерности в живой природе, то заметите, что эти числа часто встречаются в различных спиральных формах, которыми так богат мир растений; черенки листьев примыкают к стеблю по спирали, которая проходит между двумя соседними листьями: 1/3 полного оборота - у орешника, 2/5 - у дуба, 3/8 - у тополя и груши, 5/13 - у ивы; чешуйки на еловой шишке, ячейки на ананасе и семена подсолнечника расположены спиралями, причем количества спиралей каждого направления также, как правило, числа Фибоначчи.

На рис. 1 числа Фибоначчи выражают длины сторон спиральной последовательности квадратов на клетчатой бумаге. Из этого рисунка нетрудно получить такое равенство: u₁² + u₂² + u₃² + ... + u_n² = u_nu_n+1 (для любого n). Это и другие любопытные соотношения между числами Фибоначчи, такие, как

u₁ + u₂ + ... + u_n = u_n+2 - 1;

u_n² - u_n-1u_n+1 = u_n+2u_n-1 - u_nu_n-1 = (-1)ⁿ;

u_m+k = u_k-1u_m + u_ku_m+1,

можно доказать методом математической индукции.

Много интересного в арифметике чисел Фибоначчи. Каждое третье число Фибоначчи четно, каждое четвертое делится на три, каждое пятнадцатое оканчивается нулем, и вообще для каждого d числа Фибоначчи, делящиеся на d, встречаются периодически. Два соседних числа Фибоначчи взаимно просты; u_m делится на u_n тогда и только тогда, когда m делится на n.

При детальном исследовании свойств делимости чисел Фибоначчи выясняется особая роль числа 5, например: если простое число р имеет вид 5t ± 2, то u_p+1 делится на р, а если р имеет вид 5t ± 1, то u_p-1 делится на р.

Число 5 участвует и в приведенной ниже формуле Бине (французский ученый Ж. Вине, 1786-1856), выражающей u_n как функцию от номера n:

u_n = (((1 + √5)/2)ⁿ - ((1 - √5)/2)ⁿ)/√5.

Из этой формулы следует, что ип растет примерно как геометрическая прогрессия со знаменателем

τ = (√5 + 1)/2,

точнее, u_n равно ближайшему целому числу к τⁿ/√5.

Формулу Бине можно доказать по индукции или с помощью производящей функции для последовательности Фибоначчи:

u₁x + u₂x² + u₃x³ + ... = x/(1 - x - x²).

Выражение для n-го члена в виде суммы нескольких геометрических прогрессий, аналогичное формуле Бине, можно написать и для других последовательностей, определяемых соотношением х_n+r = а₀x_n + a₁x_n+1 + ... + a_r-1x_n+r-1. Знаменатели этих прогрессий находятся как корни так называемого характеристического многочлена р(λ) = λ^r - a_r-1λ^r-1 - ... - a₁λ - a₀. Например, для последовательности Фибоначчи характеристический многочлен равен λ² - λ - 1. В общем случае надо использовать не только вещественные, но и комплексные корни многочлена (а если к тому же у него какой-то корень λ имеет кратность k > 1, то кроме геометрической прогрессии сλⁿ в сумму могут входить еще последовательности c₁nλⁿ, c₂n²λⁿ, ..., c_k-1n^k-1λⁿ - тогда общее число членов в сумме будет всегда равно r).

Уже в нашем веке были найдены новые свойства и применения чисел Фибоначчи. Среди них - самый быстрый способ отыскания экстремума для функции у = f(х) с двумя промежутками монотонности [а, х^*] и [х^*, b] (т.е. с одним экстремумом): оказывается, в наилучшем плане поиска точки экстремума х^*, состоящего из n шагов, участвуют числа Фибоначчи u₁, u₂, ..., u_n+2.