Тетраэдр
Тетраэдр, или треугольная пирамида, — простейший из многогранников, подобно тому как треугольник — простейший из многоугольников на плоскости. Слово «тетраэдр» образовано из двух греческих слов: tetra — «четыре» и hedra — «основание», «грань». Тетраэдр ABCD задается четырьмя своими вершинами — точками A, B, C, D, не лежащими в одной плоскости; грани тетраэдра — четыре треугольника; ребер у тетраэдра шесть. В отличие от произвольной n‑угольной пирамиды (при n ≥ 4) в качестве основания тетраэдра может быть выбрана любая его грань.
Тетраэдр. Рис. 1.
Тетраэдр. Рис. 2.
Тетраэдр. Рис. 3.
Тетраэдр. Рис. 4.
Тетраэдр. Рис. 5.
Тетраэдр. Рис. 6.
Тетраэдр. Рис. 7.
Многие свойства тетраэдров сходны с соответствующими свойствами треугольников. В частности, 6 плоскостей, проведенных через середины ребер тетраэдра перпендикулярно к ним, пересекаются в одной точке. В этой же точке O пересекаются и 4 прямые, проведенные через центры описанных около граней окружностей перпендикулярно к плоскостям граней, и O является центром описанной около тетраэдра сферы (рис. 1). Аналогично 6 биссекторных полуплоскостей тетраэдра, т. е. полуплоскостей, делящих двугранные углы при ребрах тетраэдра пополам, тоже пересекаются в одной точке — в центре вписанной в тетраэдр сферы — сферы, касающейся всех четырех граней тетраэдра. Любой треугольник имеет, вдобавок к вписанной, еще 3 вневписанные окружности (см. Треугольник), а вот тетраэдр может иметь любое число — от 4 до 7 вневписанных сфер, т. е. сфер, касающихся плоскостей всех четырех граней тетраэдра. Всегда существуют 4 сферы, вписанные в усеченные трехгранные углы, один из которых показан на рис. 2, справа. Ещё 3 сферы могут быть вписаны (не всегда!) в усеченные двугранные углы при ребрах тетраэдра — один из них показан на рис. 2, слева.
Для тетраэдра существует еще одна возможность его взаимного расположения со сферой — касание с некоторой сферой всеми своими ребрами (рис. 3). Такая сфера — иногда её называют «полувписанной» — существует лишь в том случае, когда суммы длин противоположных ребер тетраэдра равны: AB + CD = AC + BD = AD + BC (рис. 3).
Для любого тетраэдра справедлив аналог теоремы о пересечении медиан треугольника в одной точке. Именно, 6 плоскостей, проведенных через ребра тетраэдра и середины противолежащих ребер, пересекаются в одной точке — в центроиде тетраэдра (рис. 4). Через центроид M проходят также 3 «средние линии» — отрезки, соединяющие середины трех пар противоположных ребер, причем они делятся точкой M пополам. Наконец, через M проходят и 4 «медианы» тетраэдра — отрезки, соединяющие вершины с центроидами противолежащих граней, причем они делятся в точке M в отношении 3:1, считая от вершин.
Важнейшее свойство треугольника — равенство ∠A + ∠B + ∠C = 180° (или π) — разумного «тетраэдрического» аналога не имеет: сумма всех 6 двугранных углов тетраэдра может принимать любое значение между 2π и 3π. (Конечно, сумма всех 12 плоских углов тетраэдра — по 3 при каждой вершине — не зависит от тетраэдра и равна 4π.)
Треугольники принято классифицировать по степени их симметричности: правильные или равносторонние треугольники имеют три оси симметрии, равнобедренные — одну. Классификация тетраэдров по степени симметричности богаче. Самый симметричный тетраэдр — правильный, ограниченный четырьмя правильными треугольниками. Он имеет 6 плоскостей симметрии — они проходят через каждое ребро перпендикулярно противолежащему ребру — и 3 оси симметрии, проходящие через середины противолежащих ребер (рис. 5). Менее симметричны правильные треугольные пирамиды (3 плоскости симметрии, рис. 6) и равногранные тетраэдры (т. е. тетраэдры с равными гранями — 3 оси симметрии, рис. 7).
В заключение приведем две формулы для вычисления объема тетраэдра. Они не очень похожи на известные формулы для площади треугольника, но некоторую аналогию можно все-таки проследить.
где высота hD в данном случае есть расстояние от вершины D до плоскости грани ABC.
где (∠AB) — двугранный угол при ребре AB. Есть и другие формулы для вычисления объема тетраэдра.
