ТОЖДЕСТВО

Тождество - запись вида А = В, где А и В - выражения, принимающие одинаковые значения при всех значениях входящих в А и В переменных, взятых из некоторого множества М. Например, равенство

(m² - n²)² + (2mn)² = (m² + n²)²

является тождеством (на множестве всех действительных чисел). Это тождество позволяет построить бесконечно много прямоугольных треугольников с целыми сторонами. Например, при m = 2, n = 1 получаем: З² + 4² = 5², а при m = 3, n = 2 получаем: 5² + 12² = 13². Равенство

m³ + n³ = (m + n)(m² - mn + n²)

также является тождеством на множестве всех действительных чисел; из него вытекает, в частности, что при целых m и n число m³ + n³ делится нацело на m + n.

Будет ли равенство А = В тождеством, зависит от того, из какого множества выбираются значения переменных. Например, равенство √(x²) = x является тождеством на множестве всех неотрицательных действительных чисел, но не является тождеством на множестве всех действительных чисел.

Обычно в качестве множества М возможных значений переменных рассматривают множество всех тех значений переменных, при которых оба выражения А и В имеют смысл. Отметим, что это соглашение требует известной осторожности при обращении с тождествами. Например, согласно этому соглашению равенства √(x²) = (√x)² и (√x)² = х являются тождествами, а равенство √(x²) = х тождеством не является. Если выражения А и В тождественно равны, то это записывают формулой А ≡ В.