ТЕОРЕМА

Теорема - высказывание, правильность которого установлена при помощи рассуждения, доказательства. Примером теоремы может служить утверждение о том, что сумма величин углов произвольного треугольника равна 180°. Проверить это можно было бы опытным путем: начертить треугольник, измерить транспортиром величины его углов и, сложив их, убедиться, что сумма равна 180° (во всяком случае, в пределах той точности измерения, которую допускает транспортир). Такую проверку можно было бы повторить несколько раз для различных треугольников. Однако справедливость этого утверждения устанавливается в курсе геометрии не опытной проверкой, а при помощи доказательства, которое убеждает нас в том, что это утверждение справедливо для любого треугольника. Таким образом, утверждение о сумме углов треугольника является теоремой.

В формулировках теорем, как правило, встречаются слова «если..., то...», «из... следует...» и т. д. В этих случаях для сокращения записи используют знак ⇒. Возьмем в качестве примера теорему о том, что точка М, одинаково удаленная от двух точек А и В, принадлежит оси симметрии этих точек (рис. 1). Ее можно подробнее сформулировать так: (для любых точек А, В, М) (MA = MB) ⇒ (М принадлежит оси симметрии точек А и В).

Аналогичным образом могут быть записаны и другие геометрические теоремы: сначала идет разъяснительная часть теоремы (описывающая, какие точки или фигуры рассматриваются в теореме), а затем - два утверждения, соединенные знаком ⇒. Первое из этих утверждений, стоящее после разъяснительной части и перед знаком ⇒, называется условием теоремы, второе, стоящее после знака ⇒, называется заключением теоремы.

Меняя местами условие и заключение и оставляя без изменения разъяснительную часть, мы получаем новую теорему, которая называется обратной первоначальной. Например, для рассмотренной выше теоремы обратной будет следующая: (для любых точек А, В, М) (точка М принадлежит оси симметрии точек A и В) ⇒ (MA = MB). Короче: если точка М принадлежит оси симметрии точек А и В, то точка М одинаково удалена от точек А и В. В данном случае и исходная теорема, и обратная ей теорема справедливы.

Однако из того, что некоторая теорема верна, не всегда следует, что обратная ей теорема также верна. Например, теорема: (точка С не принадлежит прямой АВ) ⇒ (АВ < АС + ВС) справедлива, но обратная ей теорема: (АВ < АС + ВС) => (точка С не принадлежит прямой АВ) - неверна, так как при условии (АВ < АС + ВС) точка С может быть расположена на прямой АВ, но вне отрезка АВ (рис. 2).

Таким образом, доказав некоторую теорему, мы еще не можем утверждать, что верна и обратная теорема. Справедливость обратной теоремы требует отдельного доказательства.

В алгебре примерами теорем могут служить различные тождества, например равенства:

(а + b)² = а² + 2ab + b²,

a² - b² = (a + b)(a - b),

aⁿ - bⁿ = (a - b)(a^n-1 + a^n-2b + a^n-3b² + ... + ab^n-2 + b^n-1).

Они выводятся (доказываются), исходя из аксиом, и потому являются теоремами. Другим примером теорем в алгебре может служить теорема Виета о свойствах корней квадратного уравнения.

Большую роль в математике играют так называемые теоремы существования, в которых утверждается лишь существование какого-либо числа, фигуры и т.п., но не указывается, как это число (или фигура) могут быть найдены. Например: всякое уравнение хⁿ + a₁x^n-1 + а₂х^n-2 + ... + а_n-1х + а_n = 0 с действительными коэффициентами имеет при нечетном n хотя бы один действительный корень, т.е. существует число x₀ ∈ R, являющееся корнем этого уравнения.

Некоторым видам теорем дают особые названия, например лемма, следствие. Они имеют дополнительный оттенок. Леммой обычно называют вспомогательную теорему, саму по себе мало интересную, но нужную для дальнейшего. Следствием называют утверждение, которое может быть легко выведено из чего-то ранее доказанного.

Иногда теоремой называют то, что правильнее было бы называть гипотезой. Например, «великая теорема Ферма» (см. Ферма великая теорема), утверждающая, что уравнение хⁿ + уⁿ = zⁿ не имеет целых положительных решений при n > 2, пока не доказана.

Наряду с аксиомами и определениями теоремы являются основными типами математических предложений. Важные факты каждой математической науки (геометрии, алгебры, теории функций, теории вероятностей и т.д.) формулируются в виде теорем. Однако овладение математикой не сводится к тому, чтобы изучить аксиомы, определения и основные теоремы. Математическое образование включает также умение ориентироваться в богатстве фактов математической теории, владение основными методами решения задач, понимание лежащих в основе математики идей, умение применять математические знания при решении практических задач.

Не менее важны пространственное представление, навыки графического «видения», умение находить примеры, иллюстрирующие то или иное математическое понятие, и т.д. Таким образом, теоремы составляют только формальный «остов» математической теории, и знакомство с теоремами представляет собой лишь начало глубокого овладения математикой.