Средние значения

Классическими средними значениями, составленными из двух положительных чисел а и b, принято считать: среднее арифметическое -число (а + b)/2, среднее геометрическое (называемое также средним пропорциональным) - число √(ab) и среднее гармоническое - число 2ab/(a + b). Эти средние были известны еще античным математикам, они играли большую роль, в частности, в древнегреческой теории музыки. В одном из математических текстов, который приписывают древнегреческому математику Архиту (ок. 428-365 гг. до н. э.), среднее арифметическое m, среднее геометрическое g и среднее гармоническое h определялись как равные средние члены соответственно арифметической, геометрической и гармонической пропорций:

а - m = m - b; a:g = g:b; (a - h):a = (h - b):b.

Из этих равенств легко получаем:

m = (а + b)/2, g = √(ab), h = 2/(1/a + 1/b) = 2ab/(a + b).

По преданию гармоническое среднее ввел Пифагор (VI в. до н. э.), выразив с его помощью отношение основных гармонических интервалов. Пифагор установил, что вместе со струной длиной 12l, созвучно сливаясь с ней, звучат струны того же натяжения с длинами 6l (выше на октаву), 8l и 9l (выше на квинту и кварту), при этом 9 есть среднее арифметическое чисел 6 и 12, а 8 он определил как среднее гармоническое этих чисел. Это созвучие (и определяющее его отношение чисел 6, 8, 9, 12) называлось тетрадой. Пифагорейцы считали, что тетрада есть «та гамма, по которой поют сирены».

В древнегреческой математике, которая была по преимуществу геометрической, было известно несколько способов построения средних по двум данным отрезкам а и b. У Паппа Александрийского (III в.) в его «Математическом собрании», своде результатов древнегреческой математики, приведено построение среднего геометрического двух отрезков по способам его предшественников Эратосфена (276-194 гг. до н.э.), Никомеда (II в. до н.э.) и Герона (I в.), дано также описание построения на одной фигуре всех трех средних.

На рис. 1 показано одно из возможных построений. АС и СВ (|АС| = а, |СВ| = b) - смежные отрезки одной прямой, на отрезке АВ как на диаметре построена окружность, радиус этой окружности равен (а + b)/2. В точке С восставлен перпендикуляр к прямой АВ. В прямоугольном треугольнике ANВ (угол ANВ - прямой, он опирается на диаметр) высота NC есть среднее пропорциональное отрезков АС и СВ, т. е. |NC| = √(ab). Если NM - проекция NC на NO, то нетрудно подсчитать, что |NM| = 2ab/(а + b). Так как перпендикуляр короче наклонной, то |NM| < |NC| < |ON|. Если длины отрезков АС и СВ равны, то точки О и С совпадают и совпадают также все рассматриваемые отрезки NM, NC и ON. Таким образом, при любых положительных а и b справедливы неравенства:

2ab/(a + b) ≤ √(ab) ≤ (a + b)/2,

и в каждом из них знак равенства достигается лишь в случае а = b.

Неравенство √(ab) ≤ (а + b)/2 называется неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом. Из него следуют две теоремы, которые часто используются при решении задач на наибольшее и наименьшее значения, так называемых задач на экстремум: 1) произведение двух положительных чисел, при постоянной сумме, имеет наибольшее значение, когда числа равны; 2) сумма двух положительных чисел, при постоянном произведении, имеет наименьшее значение, когда числа равны.

Применив эти теоремы, нетрудно, например, установить, что из всех прямоугольников с заданным периметром наибольшую площадь имеет квадрат и из всех прямоугольников с заданной площадью наименьший периметр имеет также квадрат.

Средним арифметическим n положительных чисел а₁, а₂, ..., а_n называется число

m = (а₁ + а₂ + ... + а_n)/n.

Средним геометрическим n положительных чисел а₁, а₂, ..., а_n называется корень n-й степени из произведения этих чисел:

g = ⁿ√(а₁а₂...а_n).

Средним гармоническим n положительных чисел а₁, а₂, ..., а_n называется число

h = n/(1/a₁ + 1/a₂ + ... + 1/a_n).

Заметим, что число, обратное среднему гармоническому h, есть среднее арифметическое n чисел, обратных данным:

1/h = (1/a₁ + 1/a₂ + ... + 1/a_n)/n.

Средним квадратичным n произвольных чисел а₁, а₂, ..., а_n называется корень квадратный из среднего арифметического квадратов этих чисел:

d = √((a₁² + a₂² + ... + a_n²)/n).

Для любых положительных чисел a₁, а₂, ..., а_n эти средние удовлетворяют неравенствам:

h ≤ g ≤ m ≤ d, (1)

в каждом из которых знак равенства достигается лишь в случае, когда а₁ = а₂ = ... = а_n.

Самым важным и знаменитым из этих неравенств является неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом:

ⁿ√(a₁a₂a_n) ≤ (a₁² + a₂² + ... + a_n²)/n. (2)

Применяя его к числам 1/а₁, 1/а₂, ..., 1/а_n, можно доказать неравенство h ≤ g, а применяя его к натуральным числам 1, 2, ..., n и используя тот факт, что

1 + 2 + ... + n = n(n + 1)/2,

получаем неравенство n! < ((n + 1)/2)ⁿ

Следствиями неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом будут обобщения теорем 1) и 2) о максимуме произведения и минимуме суммы, на основе которых решаются многие задачи на экстремум: произведение п положительных чисел, при постоянной сумме, принимает наибольшее значение, когда все эти числа равны; сумма п положительных чисел, при постоянном произведении, принимает наименьшее значение, когда все эти числа равны. Обратим внимание, что среднее арифметическое, как и среднее квадратичное, имеет смысл не только для положительных, но и для произвольных чисел a₁, а₂, ..., а_n, при этом справедливо неравенство m² ≤ d2. В случае, например, двух слагаемых оно принимает вид

((a¹ + a²)/2) ≤ ((a¹² + a²²)/2)

и легко следует из тождественного неравенства (а¹ - а²)₂ ≥ 0. Неравенства для средних и сами средние широко применяются не только в алгебре, геометрии, математическом анализе, но и в статистике, в теории вероятностей (откуда пришло среднее квадратичное), при обработке результатов измерений.

Все рассмотренные средние являются частными случаями степенных средних: для положительных чисел а₁, а₂ ..., а_n и отличного от нуля числа α степенным средним порядка α называется число

S(α) = ((a₁^α + a₂^α + ... + a_n^α)/n)^1/α.

При α = -1, 1, 2 соответственно получается среднее гармоническое, среднее арифметическое и среднее квадратичное. При α = 0 S(α) не определено, однако можно показать, что при стремлении а к нулю S(α) стремится к среднему геометрическому, и потому можно считать S(0) средним геометрическим. Основное свойство степенных средних-это монотонность: S(α₁) ≤ S(α₂), если α₁ < α₂, в частности

S(-1) ≤ S(0) ≤ S(1) ≤ S(2).

Рассмотрим следующую процедуру. По двум положительным числам а и b составим их среднее арифметическое a₁= (а + b)/2 и среднее геометрическое b₁ = √(ab), затем по числам a₁ и b₁ составим их среднее арифметическое а₂ = (a₁ + b₁)/2 и среднее геометрическое b₂ = √(a₁b₁). Продолжим этот процесс, определяя а_n и b_n с помощью формул:

a_n = (a_n-1 + b_n-1)/2 b b_n = √(a_n-1b_n-1).

Образуются две последовательности чисел (a_n) и (b_n). Например, если взяты числа а = 1 и b = 3, то первые члены последовательностей будут такие:

a₁ ≈ 2; b₁ ≈ 1,732050808;

а₂ ≈ 1,866025404; b₂ ≈ 1,861209718;

а₃ ≈ 1,863617561; b₃ ≈ 1,863616006;

a₄ ≈ 1,863616784; b₄ ≈ 1,863616784.

В приведенном примере последовательности (а_n) и (b_n) очень быстро сближаются. В общем случае, как было показано немецким математиком К. Ф. Гауссом, последовательности (a_n) и (b_n) приближаются друг к другу достаточно быстро и имеют общий предел. Предел этот называется арифметико-геометрическим средним чисел а и b. Он не выражается элементарно через а и b, однако не является и каким-то математическим курьезом, а находит многочисленные применения в ряде разделов математики.