Системы счисления

Системы счисления - это способы записи чисел в виде, удобном для прочтения и выполнения арифметических операций.

Рассматривая археологические находки эпохи палеолита (камни, кости животных), можно заметить, что люди стремились группировать точки, полосы и насечки по 3, 4, 5 или по 7. Такая группировка облегчала счет. В древности чаще всего считали на пальцах, и поэтому предметы стали группировать по 5 или по 10. В дальнейшем десяток десятков получил особое название (в русском языке-сотня), десяток сотен-свое название и т.д. Для удобства записи такие узловые числа стали обозначать особыми знаками. Если при пересчете оказывалось 2 сотни 7 десятков и еще 4 предмета, то дважды повторяли знак для сотни, семь раз - знак для десятка и четыре раза - знак для единицы. Знаки для единиц, десятков и сотен были не похожи друг на друга. При такой записи числа знаки можно было располагать в любом порядке, и значение записанного числа при этом не менялось. Поскольку в такой записи положение знака не играет роли, подобные системы счисления стали называть непозиционными. Непозиционными были системы счисления у древних египтян, греков и римлян. Непозиционные системы счисления были более или менее пригодны для выполнения операций сложения и вычитания, но совсем не удобны для умножения и деления. Чтобы облегчить работу, применялись счетные доски-абаки. Современные счеты являются видоизмененным абаком (см. Вычислительная техника).

У древних вавилонян система счисления вначале была непозиционной, но впоследствии они научились использовать информацию, заключенную в порядке записи знаков, и перешли к позиционной системе счисления. При этом в отличие от используемой нами системы счисления, в которой значение цифры меняется в 10 раз при перемещении на одно место (такую систему называют десятичной), у вавилонян при перемещении знака происходило изменение значения числа в 60 раз (такую систему счисления называют шестидеся-теричной). Долгое время в вавилонской системе счета не было нуля, т. е. знака для пропущенного разряда. Это не создавало неудобств, так как порядок числа был обычно известен. Но когда стали составлять обширные математические и астрономические таблицы, возникла необходимость в таком знаке. Он встречается и в поздних клинописных записях, и в таблицах, составленных в Александрии в начале нашей эры. Следы вавилонской системы счисления сохранились до наших дней в порядке счета единиц времени (1 ч = 60 мин, 1 мин = 60 с).

Хотя вавилонские ученые пользовались ше-стидесятеричной системой счисления, на практике все чаще использовали сложный гибрид этой системы с десятичной. А индийские математики, много заимствовавшие у вавилонских ученых, применяли чисто десятичную систему счета. Сочетав с ней вавилонский метод обозначения чисел, индийцы создали в VI в. способ записи, использующий лишь 9 цифр. Вместо нуля оставляли пустое место, а позднее стали ставить точку или маленький кружок. В IX в. появился особый знак для нуля. Долгое время понятие нуля казалось непонятным и абстрактным (зачем нужен знак для того, чего нет?), но в конце концов преимущества нового способа записи чисел стали ясны всем. Были выработаны правила выполнения арифметических операций над числами в десятичной системе счисления, не требовавшие использования абака, и этот способ записи чисел распространился по всему миру.

За основание системы счисления можно принять не только числа 10 или 60, но и любое натуральное число р, большее 1. Для записи чисел в р-ичной системе счисления нужно р цифр. Число, записанное цифрами а_k, a_k-1, ..., а₀ в р-ичной системе, равно a_kp^k + ... + a_k-1p^k-1 + ... + a_k0. Например: 326₇ = 3•7² + 2•7 + 6 (индекс 7 означает, что число записано в семеричной системе). Если число записано в десятичной системе счисления, а его надо перевести в р-ичную систему, то делят это число на р с остатком. Потом делят на р с остатком неполное частное и т.д. до тех пор, пока не получится неполное частное, равное нулю. Выписывая подряд остатки, начиная с последнего и кончая первым, получаем искомую р-ичную запись нашего числа. Например, из того, что 29 = 4•6 + 5, а 4 = 0•6 + 4, вытекает, что 29 = 45₆.

Операции над натуральными числами в р-ичной системе счисления выполняются в обычном порядке, с той лишь разницей, что для каждой системы счисления надо брать свои таблицы сложения и умножения. Особенно простой вид эти таблицы имеют для двоичной системы счисления.

+ 0 1

0 0 1

1 1 10

и

х 0 1

0 0 0

1 0 1

Еще в XVII в. немецкий математик Г. В. Лейбниц предложил перейти на двоичную систему счисления, но этому помешала не только традиция, но и то, что в двоичной системе счисления запись чисел слишком длинна. Например: 106 = 1101010₂. Однако в нашем веке, когда были созданы ЭВМ, оказалось, что для выполнения арифметических операций на этих машинах самой удобной является именно двоичная система счисления (см. Языки программирования).