СОВЕРШЕННЫЕ ЧИСЛА

В Древней Греции число называли совершенным, если оно равнялось сумме всех своих делителей (исключая само число). Например: 6 = 1 + 2 + 3; 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14;

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248. Указанные три числа - первые совершенные числа. Они, как и все остальные известные совершенные числа, четны. Еще древнегреческий математик Евклид в III в. до н. э. указывал, что четные совершенные числа могут быть получены в виде 2^p-1 (2^p - 1) в том случае, если число 2^p - 1 простое. Простые числа вида 2^p - 1 стали называть простыми числами Мерсенна, по имени французского монаха М. Мерсенна (1588-1648), много занимавшегося совершенными числами. Л. Эйлер показал, что этими числами исчерпываются все четные совершенные числа.

К настоящему времени числа вида 2^p - 1 проверены на простоту для всех р до 50000. В результате обнаружено более 30 простых чисел Мерсенна, самое большое из которых получается при р = 132049. Это число с 39751 десятичным знаком. Соответствующее ему совершенное число 2⁸⁶²⁴² (2⁸⁶²⁴² - 1) имеет 79502 дсся 1 ичных знака. Итак, известно довольно много четных совершенных чисел, но не известно ни одного нечетного совершенного числа, хотя в поисках такого числа проверены все числа до 10⁵⁰ . Также неизвестно, конечно ли количество совершенных чисел.