Релятивистская механика
Релятивистская механика — механика, учитывающая законы теории относительности, изучающая законы движения тел со скоростями, близкими к скорости света. Ничего еще не зная об этих законах, сразу можно утверждать: необходимое (но отнюдь недостаточное) требование к релятивистской механике таково — при «малых скоростях» v/с << 1 законы релятивистской механики должны переходить в законы механики Ньютона. Основание для такого утверждения состоит в том, что законы механики Ньютона проверены на многовековом опыте. (Слова «малые скорости» взяты в кавычки, чтобы подчеркнуть относительность этого понятия. Скажем, 100 км/с в данном случае ничтожно малая скорость: 105м/с / 3•108м/с.)
Приведем основные уравнения релятивистской механики.
Второй закон Ньютона формально имеет тот же вид, что и в классической механике:
dp→/dt = F→ (1)
где F→ — сила.
Но в релятивистской механике формула, определяющая вектор импульса, выглядит так:
p→ = mv→/√(1-v2/c2). (1а)
Здесь m — масса покоя тела (масса в той системе, где тело покоится). Эта масса связана с энергией, «заключенной в теле», соотношением: Е = mc2.
Второе основное соотношение — формула для кинетической энергии:
Eкин = [mc2/√(1-v2/c2) - mc2]. (2)
Прежде всего убедимся, что при v/c << 1 мы снова получим формулы ньютоновской механики. Для импульса это видно сразу. Пренебрегаем под корнем членом v2/c2 и имеем: р→ = mv→.
Если точно так же поступить с формулой (2), получим нуль. Значит, такое приближение слишком грубо. В этом случае обратимся к математике и вспомним две следующие формулы.
Первая формула. Если α << 1, то √1—α ≈ 1-α/2 (с точностью до малых членов порядка а2). Доказывается прямым возведением в квадрат правой и левой частей.
Вторая формула. Если β << 1, то 1/(1-β) ≈ 1+β. Опять это верно с точностью до членов порядка β2. Доказывается приведением к общему знаменателю. Тогда при v/с << 1
Eкин = mc2/√(1-v2/c2) - mc2 ≈ mc2/(1-v2/2c2) - mc2 ≈ mc2(1 + v2/2c2) - mc2 = mv2/2.
В обоих случаях мы пренебрегали членами порядка v4/c4 и получали формулы ньютоновской механики.
Есть еще третья формула, связывающая полную энергию тела Eполн = Eкин = + mc2 = mc2√(1-v2/c2) непосредственно с импульсом:
Eполн = c√(p2 + mc2). (3)
Ее можно получить из первых двух формул с помощью простых арифметических расчетов. При p << mc мы снова придем к формулам механики Ньютона.
Но если v ~ с (хотя непременно v < с) законы релятивистской механики коренным образом отличаются от законов классической механики.
Например, как правило, вектор ускорения не параллелен силе. Это вытекает из формул (1) и (1а), но, чтобы получить этот результат, надо знать основы дифференцирования векторов. Ускорение ã = dṽ/d параллельно силе лишь в двух случаях — когда сила направлена параллельно скорости и когда она перпендикулярна скорости. Причем связь силы и ускорения различна. В первом случае:
F→ = ma→/(1-v2/c2)3/2. (4)
Во втором:
F→ = ma→/(1-v2/c2)1/2. (5)
В обоих случаях по мере приближения |v| к c требуется все большая рила для придания данного ускорения. И в первом и во втором случае сила стремится к бесконечности, когда |v| стремится к с. Однако, как видно из формул (4) и (5), разгонять частицу труднее, чем заставить ее «свернуть с пути».
Из теории относительности следует, что каждая частица в состоянии покоя имеет энергию Е = mс2, причем эта энергия совершенно реальна. Ее можно использовать и необходимо учитывать.
Сегодня релятивистская механика во многом стала инженерной наукой. С ее помощью анализируют столкновения элементарных частиц, взаимодействие релятивистских частиц с ве^ ществом и вообще все процессы со скоростями, близкими к световой. Все современные ускорители заряженных частиц планируются и рассчитываются на основе релятивистской механики.
