Расстояние
Расстоянием между двумя точками [math]A[/math] и [math]B[/math] плоскости (или пространства) называется длина отрезка [math]AB;[/math] если выбрана единица измерения, то расстояние будет неотрицательным числом, которое обозначается так: [math]ρ(A,B),[/math] или [math]|AB|,[/math] или просто [math]AB.[/math] По определению [math]ρ(A,A)=0.[/math]
<addc>r</addc>
В разнообразных математических ситуациях, да и в повседневной жизни мы часто оцениваем удаленность друг от друга двух объектов с помощью «расстояний», отличных от обычного. Скажем, расстоянием между точками [math]A[/math] и [math]B[/math] на глобусе естественно считать длину меньшей из двух дуг [math]AB[/math] окружности большого круга (проходящего через точки [math]A[/math] и [math]B[/math]). Расстояние между [math]A[/math] и [math]B[/math] также характеризует минимальное время, за которое можно добраться из пункта [math]A[/math] в пункт [math]B.[/math] Если измерить расстояние между Новосибирском и Душанбе по глобусу (или посмотреть в авиационный справочник), получится примерно [math]2100[/math] км. В железнодорожном справочнике указано другое число: [math]3895[/math] км. В этом, конечно, нет ничего удивительного: поезда не могут ездить напрямик, как летают самолеты, поэтому железнодорожники и летчики оценивают расстояние по‑разному.
Для построения теории расстояния, применимой во многих разделах математики, оказывается достаточно выделить очень небольшое число основных свойств расстояния.
Пусть каждым двум элементам [math]a,b[/math] множества [math]X[/math] по некоторому правилу сопоставлено число [math]ρ(a,b)≥0,[/math] при этом выполнены три условия:
[math]1)[/math] [math]ρ(a,b)=0[/math] тогда и только тогда, когда [math]a=b;[/math]
[math]2)[/math] ρ(a,b)=ρ(b,a) для любых двух [math]a[/math] и [math]b;[/math]
[math]3)[/math] [math]ρ(a,c)≤ρ(a,b)+ρ(b,c)[/math] для любых трех элементов [math]a,b,c[/math] из [math]X.[/math]
Множество [math]X,[/math] снабженное такой функцией [math]ρ,[/math] называется метрическим пространством. Свойство [math](3)[/math] для обычного расстояния на плоскости выражает тот факт, что длина каждой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон; это свойство называется неравенством треугольника. В конкретных примерах именно оно не очевидно и нуждается в проверке. Неравенство треугольника на сфере сводится к такой теореме: любой плоский угол [math]COA[/math] трехгранного угла [math]ABCO[/math] меньше суммы двух других плоских число ребер в пути, соединяющих эти вершины.
Расстояние между двумя точками [math]a[/math] и [math]b[/math] числовой прямой [math]R[/math] равно [math]|a−b|.[/math] В прямоугольной декартовой системе координат на плоскости расстояние между двумя точками [math]A(x_1,y_1)[/math] и [math]B(x_2,y_2)[/math] выражается с помощью теоремы Пифагора по формуле:
[math]ρ(A,B)=\sqrt{(x_1−x_2)^2+(y_1−у_2)^2}.[/math]
Аналогичная формула в пространстве для расстояния между точками [math]A(x_1,y_1,z_1) и B(x_2,y_2,z_2):[/math]
[math]ρ(A,B)=[/math] [math]\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1−y_2)^2+(z_1−z_2)^2}.[/math]
На одном и том же множестве [math]X[/math] можно многими разными способами ввести расстояние. Например, на плоскости за расстояние между точками [math]A(x_1,y_1)[/math] и [math]B(x_2,y_2)[/math] можно принять [math]ρ_1(A,B)=|x_1−x_2|+|y_1−y_2|[/math] или [math]ρ_2(A,B)=\mathrm{max}\{|x_1−x_2|,|y_1−y_2|\}[/math] — наибольшее из двух чисел [math]|x_1−x_2|,|y_1−y_2|.[/math]
Расстояние можно определять не только между точками. Так, расстоянием от точки [math]A[/math] до прямой [math]l[/math] (или до плоскости в пространстве) называется длина перпендикуляра, опущенного из точки [math]A[/math] на прямую [math]l[/math] (на плоскость [math]p[/math]). Вообще, расстоянием от точки [math]A[/math] до фигуры [math]F[/math] называется наименьшее из расстояний от этой точки до точек фигуры [math]F.[/math] Иногда используют аналогичное определение расстояния между двумя непересекающимися фигурами; в частности, расстоянием между двумя параллельными или скрещивающимися прямыми (рис. [math]2[/math]) считается длина перпендикулярного обеим прямым отрезка с концами на этих прямых — наименьшее из расстояний между точками двух прямых.
