Развёртка
Допустим, что многогранник — многогранную поверхность — после проведения разрезов по нескольким ребрам удается развернуть на плоскость. В результате получается развертка многогранника. Развертка представляет собой плоский многоугольник, составленный из меньших многоугольников — граней исходного многогранника. Так, на рис. 1 изображены развертки всех пяти видов правильных многогранников. По ним легко восстановить, склеить соответствующие многогранники; обычно на развертках указывают, какие именно пары сторон развертки нужно склеивать для получения исходного многогранника.
Развёртка. Рис. 1.
Развёртка. Рис. 2.
Развёртка. Рис. 3.
Развёртка. Рис. 4.
Развёртка. Рис. 5.
Развёртка. Рис. 6.
Развёртка. Рис. 7.
Один и тот же многогранник может иметь несколько разных разверток. Например, правильный тетраэдр имеет и треугольную развертку, которая даже более удобна для склейки тетраэдра: достаточно согнуть три угловых треугольника (рис. 2). Аналогичная развертка произвольного тетраэдра представляет собой в общем случае шестиугольник с попарно равными соседними сторонами (рис. 3).
Развертки (или части разверток) применяют при изготовлении моделей различных многогранников. Пример — склейка «треугольных» (правильнее говорить «тетраэдрических») молочных пакетов. Эти пакеты не являются правильными тетраэдрами: правильные тетраэдры плохо укладываются в молочные корзины. Молочные пакеты представляют собой равногранные тетраэдры с четырьмя ребрами примерно по 17 см и двумя ребрами по 13 см. Внимательно рассмотрев пакет, вы увидите, что он склеен из… прямоугольника, получающегося при разрезании тетраэдра по двум меньшим ребрам и большей высоте одной из граней. Легко представить обратную процедуру: как показано на рис. 4, сначала прямоугольник склеивается в цилиндр (точнее, в боковую поверхность цилиндра), а потом вдоль взаимно перпендикулярных диаметров оснований в тетраэдрический пакет. Конечно, технологически это осуществить проще, чем склейку пакета из треугольника, — не потребуется даже никаких клапанов для склейки.
<addc>G</addc>
Развертки помогают решать задачи на отыскание кратчайшего пути (по поверхности фигуры) из одной точки в другую. Например, чтобы из всех путей вида AKB, ведущих по поверхности куба из вершины A в противолежащую вершину B (рис. 5, а), выбрать кратчайший, достаточно развернуть две соседние грани и соединить точки A и B отрезком прямой (рис. 5, б). Кратчайший путь будет проходить через середину M ребра CD (всего таких путей будет 6 — по числу разделяющих точки A и B ребер куба). Обратите внимание: точно так же решается и задача о кратчайшем «перевале» через ребро любого двугранного угла (рис. 6).
Рассматривая молочный пакет, мы видели, что цилиндрическую поверхность тоже можно развернуть на плоскость. Это верно и для поверхности конуса: разрезав её по окружности основания и по одной из образующих, после разворачивания мы получим (касающиеся друг друга) круг и круговой сектор (рис. 7, а, б). Если кривая на поверхности не пересекает линии разреза, то её длина при разворачивании не меняется. Поэтому и в случае цилиндра и конуса развертку можно применить для отыскания кратчайшего пути из точки A в точку B, идущего по боковой поверхности конуса или цилиндра. Конечно, при этом следует позаботиться о выборе линии, по которой делать разрез, иначе можно получить не самый короткий путь, а лишь более короткий по сравнению с ближайшими путями (пунктир на рис. 7, а).
Развертки цилиндра и конуса можно использовать и для вычисления площадей их боковых поверхностей ([math]2πRH[/math] — для цилиндра и [math]πRl[/math] — для конуса). Однако этот метод определения площадей далек от универсальности, ибо большинство искривленных поверхностей нельзя развернуть на плоскость с сохранением длин и площадей. С этим, в частности, связаны трудности при изготовлении покрышек для мячей.
