ПРОПОРЦИЯ

Пропорцией называют равенство отношений двух или нескольких пар чисел или величин. Например, размеры модели машины или сооружения отличаются от размеров оригинала одним и тем же множителем, задающим масштаб модели. Поэтому если выбрать на оригинале четыре точки А, В, С и D и обозначить через А', В', С, D' соответствующие точки на модели, то будет выполняться равенство А'В'/АВ = CD/CD (оба отношения равны масштабу). Такое равенство двух отношений и будет пропорцией. Справедлива и другая пропорция AB/CD = А'В'/C'D', которая показывает, что отношения расстояний точек оригинала такие же, как и отношения расстояний соответствующих точек модели.

В древности в неявной форме идеей пропорциональности пользовались при решении задач методом ложного положения: давали искомой величине произвольное значение, вычисляли, какое значение должна при этом иметь одна из данных величин, и сравнивали с условием задачи. Отношение величин давало коэффициент, на который надо умножить выбранное значение, чтобы получить правильный ответ.

Систематически пропорции начали изучать в Древней Греции. Сначала рассматривали лишь пропорции, составленные из натуральных чисел, и поэтому считали, что числа а, b, с, d образуют пропорцию, если а является тем же кратным (той же долей или той же дробью) от b, что и с от d. В этот период не различали пропорции, составленные из величин, и пропорции, составленные из чисел. Открытие несоизмеримости диагонали квадрата и его стороны заставило рассматривать такие пропорции как разные объекты. В IV в. до н.э. древнегреческий математик Евдокс дал определение пропорции, составленной из величин любой природы.

Древнегреческие математики превратили пропорции в весьма гибкий аппарат исследования. С их помощью решали задачи, которые в наши дни решают с помощью уравнений, а место алгебраических преобразований занял переход от одной пропорции к другой. Например, было известно, что если справедлива пропорция а/b = c/d, то справедливы и следующие производные пропорции:

a/c = b/d, d/b = c/a, (a + b)/b = (c + d)/d, (a + b)/a = (c + d)/c,

(a - b)/b = (c - d)/c (при a > b)

a/(a - b) = c/(c - d), (a + b)/(a - b) = (c + d)/(c - d)

и многие иные.

Роль теории пропорций заметно уменьшилась после того, как было осознано, что отношение величин является числом (быть может, иррациональным), а потому пропорция-это просто равенство чисел. Это позволило применять вместо пропорции уравнения, а вместо преобразования пропорций - алгебраические преобразования.