ПАУЛИ ПРИНЦИП

В одном и том же квантовом состоянии (см. Квантовая механика) может находиться не более одной частицы с полуцелым спином.

Существует требование перестановочной симметрии тождественных объектов: никакие физические явления не должны изменяться при перестановке двух идеально одинаковых частиц, например двух электронов или двух нейтронов (см. Симметрия законов природы).

Два туриста, боясь перепутать одинаковые палки, выкрасили их в разные цвета; затем поняли, что можно было покрасить лишь одну палку. Если же подумать еще немного, станет ясно, что в покраске нет необходимости — два идеально одинаковых предмета спутать нельзя. Если они одинаковы, нет способа установить отличие, это непроверяемое, а значит, ненаучное утверждение.

В квантовой механике состояние системы описывают волновой функцией. Физические величины выражаются через квадрат этой функции. Поэтому есть две возможности, не нарушающие перестановочной симметрии: первая — при перестановке частиц волновая функция не изменяется; и вторая — она изменяет знак при такой перестановке. То же самое получается из требования, чтобы волновая функция не изменялась при двукратной перестановке.

В работе, оказавшей большое влияние на всю последующую физику, швейцарский ученый В. Паули показал, что первая возможность осуществляется для частиц с целым спином, а вторая — для частиц с полуцелым спином. Таким образом, волновая функция изменяет знак при перестановке, скажем, двух электронов (спин электрона равен 1/2) и не изменяет при перестановке двух пи-мезонов (спин пи-мезона равен нулю). Теперь нетрудно понять принцип запрета Паули: две частицы с полу-целым спином не могут находиться в одинаковом состоянии.

Предположим, что две частицы с полуцелым спином находятся в одинаковом состоянии, тогда их перестановка не может изменить волновую функцию. Между тем, по теореме Паули, волновая функция должна была бы изменить знак. Следовательно, такая волновая функция равна нулю. Но волновая функция определяет вероятность нахождения частицы в данном состоянии; если она равна нулю, значит, такое состояние невозможно — две частицы с полуцелым спином не могут находиться в одинаковом состоянии.

Принцип Паули определяет распределение электронов по атомным оболочкам (см. Атом). Так, на 1s-оболочке атома водорода (орбитальный момент l = 0, главное квантовое число n = 1) возможны только два разных состояния электрона с проекциями спина на выделенное направление, равными + 1/2 и — 1/2. Поэтому на этой оболочке находятся два электрона — больше нельзя поместить по принципу Паули. На 2p-оболочке главное квантовое число n = 2, орбитальный момент l = 1, число проекций орбитального момента равно 2l + 1 = 3, и в каждом из этих состояний возможны две проекции спина электрона, поэтому всего есть шесть состояний, и на этой оболочке могут разместиться шесть электронов.

Не менее важные заключения следуют из применения принципа Паули к свободным электронам в металле. Рассмотрим вместо металла, в котором на свободные электроны действует поле периодически расположенных атомов, более простой случай — пусть свободные электроны движутся в потенциальном ящике с высокими стенками. Согласно квантовой механике, возможные состояния определяются из условия, что на длине ящика должно укладываться целое число полуволн. Если в ящик насыпать электроны и искать состояния с наинизшей энергией, то по мере увеличения числа электронов будут заполняться все более высокие состояния — на каждом уровне будет находиться по два электрона с противоположными спинами. Поэтому в наинизшем состоянии всей системы электронов имеются частицы всех импульсов, от самых малых, порядка ħ/l до самых больших, соответствующих границе заполнения. Такое, обусловленное принципом Паули заполнение состояний называют распределением Ферми, а энергию самых быстрых электронов — энергией Фе-рми. Из закона квантования частиц в ящике (см. Квантовая механика) нетрудно получить связь плотности частиц (со спином 1/2) с граничным импульсом p_F распределения Ферми:

n=p_F³/(2π²ħ³).

Энергия Ферми равна E_F = p_F²/2m.

В классической физике предполагалось, что при абсолютном нуле температуры все частицы покоятся. Согласно принципу Паули, свободные электроны металла даже при абсолютном нуле имеют скорости того же порядка, что и скорости связанных в атоме электронов.