ПАСКАЛЯ ТРЕУГОЛЬНИК

На рис. 1 изображено несколько первых строк числового треугольника, образованного по следующему правилу: по краям каждой строки стоят единицы, а каждое из остальных чисел равно сумме двух стоящих над ним чисел предыдущей строки. По этому правилу легко выписывать одну за другой новые строки этого треугольника. Именно в такой форме он приведен в «Трактате об арифметическом треугольнике» французского математика Б. Паскаля (1623-1662), опубликованном в 1665 г., уже после смерти автора. Но несколько иные варианты этой числовой таблицы встречались столетием раньше у итальянского математика Н. Тартальи, а за несколько веков до этого у среднеазиатского ученого и поэта Омара Хайяма, некоторых китайских и индийских ученых.

Популярность чисел, составляющих треугольник Паскаля, не удивительна: они возникают в самых естественных задачах алгебры, комбинаторики, теории вероятностей, математического анализа, теории чисел.

Сколько различных k-элементных множеств (сочетаний) можно образовать из данных n элементов? (рис. 2).

Каковы коэффициенты многочлена (1 +х)ⁿ?

Сколько существует строчек из n единиц и нулей, в которых ровно k единиц?

Сколькими разными путями можно спуститься из верхней точки А на рис. 3 в k-й перекресток n-то ряда?

На все эти вопросы ответ дают числа С_n^k треугольника Паскаля. Обозначение С_n^k предполагает, что верхняя строка треугольника Паскаля состоит из одного числа C ₀⁰ = 1, следующая (первая) - из двух чисел С₁⁰ = С₁¹ = 1, и вообще n-я строка состоит из n + 1 чисел:

C_n⁰ = 1, С_n¹ = n, с_n² = n(n - 1)/2, ..., C_n^n-1, C_nⁿ.

Числа C_n^k называют обычно числами сочетаний из n элементов по k, или биномиальными коэффициентами (см. Ньютона бином); в некоторых книгах для них используют обозначение (_kⁿ). Оно удобно для запоминания простой формулы, позволяющей по заданным номерам пик сразу вычислить, какое число стоит на k-м месте в n-й строке треугольника Паскаля:

к чисел

C_n^k = (n(n - 1)(n - 2) ... (n - k + 1))/(1•2•3•...•k).

Используя обозначение факториала m! = = 1•2•...•m, эту формулу можно записать еще короче:

C_n^k =(_n^k) = n!/(k!(n - k)!).

В «равнобедренной» форме треугольника Паскаля на рис. 1 очевидно свойство симметрии каждой строки С_n^k = С_n^n-k; при этом посередине строки стоит самое большое число С_n^n/2 (если n четно) или два самых больших числа C_n^n/2-1 = С_n^n/2+1 (если n нечетно), а к краям числа монотонно убывают.

Если записать тот же треугольник в «прямоугольной» форме (рис. 4), то целый ряд свойств треугольника Паскаля, связанный с суммами его чисел, будет удобнее наблюдать. В частности, сумма нескольких первых чисел каждого столбца равна идущему за ними числу следующего столбца:

1 + 2 + ... + (m — 1) = С_m² = m(m - 1)/2;

C₂² + C₃³ + ... + C_m-1² = C_m³ = m(m - 1)(m - 2)/6

(числа С_m² = m(m - 1)/2 называются треугольными числами, а числа С_m³ - пирамидальными; см. Фигурные числа); и вообще, при m > k

C_k^k + C_k+1^k + ... + C_m-1^k = C_m^k+1

Суммы чисел по «восходящим» (зеленым) диагоналям на рисунке 4 равны последовательным числам Фибоначчи (см. Фибоначчи числа).

Для применений в теории вероятностей особенно важны асимптотические формулы для чисел треугольника Паскаля, т.е. приближенные оценки этих чисел при больших n.