Непрерывные функции

Рассмотрим две функции, графики которых изображены на рис. 1 и 2. График первой функции можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. Эту функцию можно назвать непрерывной. График другой функции так нарисовать нельзя. Он состоит из двух непрерывных кусков, а в точке х₀ имеет разрыв, и функцию мы назовем разрывной.

Такое наглядное определение непрерывности никак не может устроить математику, поскольку содержит совершенно нематематические понятия «карандаш» и «бумага». Точное математическое определение непрерывности дается на основе понятия предела и состоит в следующем.

Пусть функция у = f(х) определена на отрезке [а, b] и х₀ - некоторая точка этого отрезка. Функция f(х) называется непрерывной в точке х₀, если при стремлении х к х₀ (х рассматривается только из отрезка [а, b]) значения функции стремятся к f(х₀), т.е. если

lim_x→x0 f(x)=f(x₀). (1)

Функция называется непрерывной на отрезке, если она непрерывна в каждой его точке.

Если в точке х₀ равенство (1) не выполняется, функция называется разрывной в точке х₀.

Как видим, математически свойство непрерывности функции на отрезке определяется через местное (локальное) свойство непрерывности в точке.

Величина ∆х = х — х₀ называется приращением аргумента, разность значений функции f(х) - f(х₀) называется приращением функции и обозначается ∆y. Очевидно, что при стремлении х к х₀ приращение аргумента стремится к нулю: ∆x→0.

Перепишем равенство (1) в равносильном виде

lim [Дх)-/(хо)] = 0.

Используя введенные обозначения, его можно переписать так:

lim_∆x→0∆y = 0.

Итак, если функция непрерывна, то при стремлении приращения аргумента к нулю приращение функции стремится к нулю. Говорят и иначе: малому приращению аргумента соответствует малое приращение функции. На рис. 3 приведен график непрерывной в точке х₀ функции, приращению ∆x соответствует приращение функции ∆y. На рис. 4 приращению ∆x соответствует такое приращение функции ∆y, которое, как бы мало ∆x ни было, не будет меньше половины длины отрезка АВ; функция разрывна в точке х₀.

Наше представление о непрерывной функции как о функции, график которой можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги, прекрасно подтверждается свойствами непрерывных функций, которые доказываются в математическом анализе. Отметим, например, такие их свойства.

1. Если непрерывная на отрезке функция принимает на концах отрезка значения разных знаков, то в некоторой точке этого отрезка она принимает значение, равное нулю.

2. Функция f(х), непрерывная на отрезке [а, b], принимает все промежуточные значения между значениями в концевых точках, т.е. между f(a) и f(Ь).

3. Если функция непрерывна на отрезке, то на этом отрезке она достигает своего наибольшего и своего наименьшего значения, т. е. если m-наименьшее, а М-наибольшее значения функции на отрезке [а, b], то найдутся на этом отрезке такие точки х₁ и х₂, что f(x₁) = m и f(х₂) = М.

Геометрический смысл первого из этих утверждений совершенно ясен: если непрерывная кривая переходит с одной стороны оси Ох на другую, то она пересекает эту ось (рис. 5). Разрывная функция этим свойством не обладает, что подтверждается графиком функции на рис. 2, а также свойствами 2 и 3. На рис. 2 функция не принимает значения ух, хотя оно заключено между f(a) и f(b). На рис. 6 приведен пример разрывной функции у = {х} (дробная часть числа х), которая не достигает своего наибольшего значения.

Примером непрерывной функции может служить любая из элементарных функций. Каждая элементарная функция непрерывна на любом отрезке, на котором она определена. Например, функции у = х² и у = 2^x неирерывны на любом отрезке [а, b], функция у = √х непрерывна на отрезке [0, b], функция у = х/(2 - х) непрерывна на любом отрезке, не содержащем точку х = 2.

Сложение, вычитание, умножение непрерывных на одном и том же отрезке функций вновь приводят к непрерывным функциям. При делении двух непрерывных функций получится непрерывная функция, если знаменатель всюду отличен от нуля.

К понятию непрерывной функции математика пришла, изучая в первую очередь различные законы движения. Пространство и время непрерывны, и зависимость, например, пути s от времени t, выраженная законом s = f(t), дает пример непрерывной функции f(t).

С помощью непрерывных функций описывают состояния и процессы в твердых телах, жидкостях и газах. Изучающие их науки-теория упругости, гидродинамика и аэродинамика - объединяются одним названием - «механика сплошной среды».