НЬЮТОНА БИНОМ

Бином Ньютона - название формулы, выражающей степень двучлена в виде суммы одночленов.

Формулу для квадрата двучлена (а + b)² = а² + 2ab + b² знали, по-видимому, еще математики Древнего Вавилона, а древнегреческие математики знали ее геометрическое истолкование (см. Алгебра). Если умножить обе части этой формулы на а + b и раскрыть скобки, то получим:

(а + b)³ = (а² + 2ab + b²)(а + b) = а³ + a²b + 2a²b + 2ab² + ab² + b³, т. е.

(а + b)² = а³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Еще один такой шаг приводит к формуле

(а + b)⁴ = а⁴ + 4а³b + 6а²b² + 4ab³ + b⁴.

Легко заметить закон образования коэффициентов: коэффициент 4 при а³b есть сумма коэффициентов 3 и 1 при а²b и а³. Аналогично, коэффициент 6 при а²b² является суммой 3 + 3 коэффициентов при ab² и а²b. По тому же закону получаем и коэффициент 4 при ab³.

Таким образом, коэффициент С_n^k при a^n-kb^k в разложении (а + b)ⁿ равен сумме коэффициентов С_n-1^k-1 и С_n-1^k при a^n-1b^k-1 и при a^n-k-1b^k в разложении (а + b)^n-1, а коэффициенты при аⁿ и при bⁿ равны единице.

Отсюда следует, что коэффициенты С_n^k в равенстве

(а + b)ⁿ = аⁿ + С_n¹a^n-1b + ... + С_n^ka^n-1b^k + ... + bⁿ (1)

являются членами (n + 1)-й строки треугольника Паскаля (см. Паскаля треугольник). Это утверждение было известно задолго до Паскаля - его знал живший в XI-XII вв. среднеазиатский математик и поэт Омар Хайям (к сожалению, его сочинение об этом до нас не дошло). Первое дошедшее до нас описание формулы бинома Ньютона содержится в появившейся в 1265 г. книге среднеазиатского математика ат-Туси, где дана таблица чисел С_n^k (биномиальных коэффициентов) до n = 12 включительно.

Европейские ученые познакомились с формулой бинома Ньютона, по-видимому, через восточных математиков. Детальное изучение свойств биномиальных коэффициентов провел французский математик и философ Б. Паскаль в 1654 г. Еще до этого было известно, что числа

C_n^k = (n(n - 1) ... (n - k + 1))/(1•2•...•k)

являются в то же время числами «сочетаний без повторений» из n элементов по k (см. Комбинаторика).

В 1664-1665 гг. И. Ньютон установил, что формула (1) обобщается на случай произвольных (дробных и отрицательных) показателей, но при этом получается сумма из бесконечного множества слагаемых. Именно он показал, что при |х| < 1

(1 + х)ⁿ = 1 + nx + n(n - 1)x²/(1•2) + ... + (n(n - 1) ... (n - k + 1))x^k/(1•2•...•k) + ... (2)

При n = -1 формула (2) превращается в известную формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии:

1/(1 + x) = 1 - х + х² - х³ + ... + (-1)^n-1хⁿ + ...