НЕИЗВЕСТНЫХ ИСКЛЮЧЕНИЕ

Исключением неизвестного называют переход от системы алгебраических уравнений к системе (уравнению, совокупности уравнений), которая не содержит этого неизвестного и является следствием исходной системы. Для того чтобы иметь возможность вычислить исключенное неизвестное, к полученной системе добавляют одно или несколько уравнений из исходной системы (см. Линейное уравнение).

Для решения линейных систем широко применяют метод Гаусса - метод последовательного исключения неизвестных. Суть его состоит в следующем. Можно считать, что в первом уравнении системы коэффициент при неизвестном x₁ отличен от нуля - в противном случае можно просто перенумеровать неизвестные. Разделим каждый член первого уравнения на этот коэффициент, а затем из каждого из остальных уравнений системы вычтем почленно полученное уравнение, умноженное на коэффициент при x₁ в уравнении, из которого вычитается первое уравнение. Тогда во всех уравнениях получившейся системы, кроме первого, коэффициент при x₁ будет равен 0. Другими словами, мы исключили из этих уравнений неизвестное x₁. Теперь если во втором уравнении нет ненулевого коэффициента при неизвестных, то возможны два случая: 1) уравнение имеет вид 0•x₁ + 0•x₂ + ... + 0•x_n = 0 (где n-число неизвестных), так как этому уравнению удовлетворяет любой набор чисел, то его можно просто вычеркнуть из системы; 2) если это уравнение имеет вид 0•x₁ + 0•x₂ + ... + 0•x_n = b, где b ≠ 0, то рассматриваемая система, а следовательно, и исходная система несовместны. Если же во втором уравнении есть неизвестное, при котором коэффициент не равен 0, то его можно принять за x₂ и исключить x₂ из всех уравнений, кроме второго и первого. Продолжая этот процесс, мы либо когда-нибудь встретим уравнение вида 0 = b, где b ≠ 0, и тем самым узнаем, что исходная система не имеет решений; либо (так как число уравнений, из которых исключаются неизвестные, каждый раз уменьшается) придем к системе m уравнений с n переменными (равносильной исходной) вида

x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + ... + a_1nx_n = b₁

x₂ + a₂₃x₃ + a₁₃x₃ + ... + a_2nx_n = b₂

x_m + ... + a_nnx_n = b_n (1)

где m ≤ n. Если m = n, то систему такого вида называют треугольной; при этом из последнего уравнения можно найти x_n(x_n = b_n), затем из предпоследнего уравнения найти x_n-1 = b_n-1 - a_n-1, x_n-2 и т.д. Таким образом, однозначно находятся все неизвестные и система имеет в точности одно решение. Если же m < n, то систему (1) называют трапециедальной; при этом переменным x_m+1, x_m+2, ..., x_n можно придать любые значения, а затем, как и в предыдущем случае (однозначно), выразить через них остальные неизвестные, следовательно, в этом случае система имеет бесконечно много решений.

Метод последовательного исключения неизвестных для решения систем был в древности известен в Китае: ряд задач, решаемых аналогичным методом, помещен в трактате «Арифметика в девяти главах» (около II в. до н. э.). Естественно, что в этом трактате в основном рассматривались системы с целыми коэффициентами. Для исключения неизвестных все уравнения (кроме выбранного) предварительно умножались на коэффициент при исключаемом неизвестном в выбранном уравнении. Это делалось для того, чтобы после исключения неизвестного снова получалась система с целыми коэффициентами. Так обычно поступают и в наши дни при решении систем с целыми коэффициентами.