Многоугольник

Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной А¹А² ... АⁿА¹, не имеющей точек самопересечения, называется многоугольником или n-угольником (n≥3). Звенья ломаной - отрезки А¹А², ..., АⁿА^x-называются сторонами, точки А¹A², ..., АnA¹ - вершинами, углы между лучами, проведенными из каждой вершины в соседние,- углами многоугольника (рис. 1).

Общим свойством n-угольников является неизменность суммы их (внутренних) углов:

А¹ + А² + ... + Аⁿ = (n - 2)•180° = (n - 2)π.

С древних времен многоугольники принято классифицировать и называть соответственно степени их симметричности, правильности. Среди треугольников выделяют равнобедренные (с одной осью симметрии) и равносторонние, или правильные (с тремя осями симметрии) (рис. 2). Четырехугольники, имеющие центр симметрии, называют параллелограммами. Конечно, такое определение эквивалентно школьному: параллелограмм -это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Четырехугольник, у которого две стороны (основания) параллельны, а две другие (боковые стороны) не параллельны, именуют трапецией.

Можно доказать, что больше одного центра симметрии многоугольник иметь не может, а вот осей симметрии может быть любое число. Четырехугольники с единственной осью симметрии бывают двух видов: равнобедренные (или равнобокие) трапеции и дельтоиды (или ромбоиды) (рис. 3). Параллелограммы, имеющие оси симметрии, подразделяются на ромбы (параллелограммы с равными сторонами), прямоугольники (параллелограммы с равными - прямыми - углами) и квадраты (ромбы с прямыми углами или прямоугольники с равными сторонами); осей симметрии у них 2 или 4 (рис. 4).

При произвольном n ≥ 3 рассматривают правильные n-угольники: у них все стороны и все (внутренние) углы равны. Правильный n-угольник можно получить, разделив окружность на n равных дуг и соединив соседние точки деления (рис. 5). Центр этой (описанной) окружности называется центром правильного n-угольника; через него проходят л осей симметрии n-угольника.

Если при данном n ≥ 5 соединить не соседние, а следующие через m дуг точки деления окружности, где 1 < m < n/2, то проведенные n хорд образуют фигуру, которую обозначают символом {n/m}. На рис. 6 и 7 изображены пентаграмма {5/2} и октаграмма {8/3}.

Еще в глубокой древности была поставлена практическая задача построения правильного n-угольника М_n с помощью циркуля и линейки (см. Геометрические построения). Построения М₃, М₄ и М₆ очень просты и показаны на рис. 8. Конечно, построение М_n эквивалентно делению окружности на n равных дуг. Дугу легко разделить пополам, построив биссектрису соответствующего центрального угла, поэтому по правильному k-угольнику легко построить 2k-угольник, затем 4k-угольник и, вообще, М_n при любом n = k•2^m. Следовательно, предыдущие построения дают возможность построить две серии правильных n-угольников: при n = 3•2^m и n = 4•2^m, где m ≥ 0,- а общую задачу построения М₂ достаточно решить лишь для нечетных n.

Евклид в своих «Началах» кроме построения двух указанных серий многоугольников приводит построения правильных пятиугольника и пятнадцатиугольника (а вместе с ними еще двух серий М_n: для n = 5•2^m и n = 15•2^m). Построение пятиугольника или десятиугольника сводится к так называемому «золотому сечению» отрезка. Ясно, что для построения М10 достаточно по известному радиусу описанной окружности R построить сторону х десятиугольника. Рассматривая один из десяти треугольников со сторонами ОА = ОВ = R, АВ = х и углами АОВ = 36°, А = В = 72°, из которых составлен десятиугольник, после проведения биссектрисы ВС (рис. 9), из подобия треугольников ОАВ и ABC и равенства отрезков АВ, ВС, ОС получаем пропорцию x/(R - x) = R/x, которая с античных времен называется «золотой». Она показывает, что точка С делит отрезок OA так, что большая часть относится к меньшей так же, как весь отрезок к большей части. Такое деление отрезка и называют «золотым сечением». Пропорция записывается как уравнение

х² + Rx — R² = 0, из которого

x = (√5 - 1)R/2

Конечно, по отрезку R легко построить и отрезок R√5 (рис. 10), а затем и х. Короткое построение дано на рис. 11: отрезок ОЕ дает сторону правильного десятиугольника, ВЕ - пятиугольника, вписанных в окружность с центром О.

Поскольку построение М_n эквивалентно построению угла в 3,60°/n, а углы 60° = 360°/6 и 36° = 360°/10 мы уже умеем строить, то по ним строится и угол 60° - 36° = 24° = 360°/15, а значит, и правильный пятнадцатиугольник.

Прошло более двух тысячелетий, прежде чем евклидов список n-угольников удалось пополнить. Это сделал в 1796 г. немецкий математик К.Ф. Гаусс: используя алгебраические идеи, он дал построение правильного семнадцатиугольника и доказал невозможность построения с помощью только циркуля и линейки правильных n-угольников при n = 1 и 9. Отметим, что построение правильного девятиугольника давало бы угол в 360°/9 = 40°, а вместе с ним и угол в 20° = 60°/3, т. е. трисекцию угла в 60°, которую невозможно осуществить циркулем и линейкой (см. Классические задачи древности). Более того, К.Ф. Гаусс доказал, что построение М_n при нечетном n осуществимо тогда, и только тогда, когда n является простым числом вида F_k = 2^2k + 1 или произведением нескольких таких различных чисел, называемых числами Ферма. В настоящее время, как и несколько веков назад, известно только 5 простых чисел Ферма: F₀ = 3, F₁ = 5, F₂ = 17, F₃ = 257 и F₄ = 65 537. (П. Ферма, чьим именем названы эти числа, полагал, что все они простые, однако Л. Эйлер указал, что число Ферма F₅ = 2³² + 1 = 641•6 700 417.) Построение правильного 257-угольника, занимающее около полусотни страниц, описал сам Гаусс.