МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИКА
Математическая экономика - теоретическая и прикладная наука, предметом которой являются математические модели экономических объектов и процессов и методы их исследования.
Возникновение математических наук, несомненно, было связано с потребностями экономики. Требовалось, например, узнать, сколько земли засеять зерном, чтобы прокормить семью, как измерить засеянное поле и оценить будущий урожай.
С развитием производства и его усложнением росли и потребности экономики в математических расчетах. Современное производство - это строго сбалансированная работа многих предприятий, которая обеспечивается решением огромного числа математических задач. Этой работой занята огромная армия экономистов, плановиков и бухгалтеров, а расчеты ведут тысячи электронных вычислительных машин. Среди таких задач и проведение расчетов планов производства, и определение наиболее выгодного размещения строительных объектов, и выбор наиболее экономных маршрутов перевозок и т.д. Математическая экономика занимается также формализованным математическим описанием уже известных экономических явлений, проверкой различных гипотез на экономических системах, описанных некоторыми математическими соотношениями.
Рассмотрим два несложных примера, демонстрирующих применение математических моделей в этих целях.
Пусть спрос S и предложение D товара зависят от цены Р. Для равновесия цена на рынке должна быть такой (Р*), чтобы товар был распродан и не было его излишков:
D(P*) = S(P*). (1)
Но если, например, предложение запаздывает на один временной интервал, то, как показано на рис. 1 (где изображены кривые спроса и предложения как функций цены), при цене Р0 спрос S0 превышает предложение D0. И так как предложение меньше спроса, то цена возрастает и товар раскупается по цене Р1 > Р0. При такой цене предложение возрастает до величины S1; теперь уже предложение выше спроса и производители вынуждены распродать товар по цене Р2 < Р1, после чего предложение падает и процесс повторяется. Получилась простая модель экономического цикла. Постепенно рынок приходит в равновесие: спрос, цена и предложение устанавливаются на уровне S*, P*, D*.
Рис. 1 соответствует решение уравнения (1) методом последовательных приближений, который определяет корень этого уравнения, т.е. равновесные цену P* и соответствующее значение спроса и предложения S*, D*.
Рассмотрим более сложный пример - «золотое правило» накопления. Величина выпуска предприятием (в рублях) конечной продукции Yt в момент времени t определяется затратами труда Lt, производительность которого зависит от отношения степени насыщенности его оборудованием Kt к затратам труда. Математическая запись этого такова:
Yt = f(Kt/Lt)Lt. (2)
Конечная продукция распределяется на потребление Сt, и накопление оборудования. Если обозначить долю выпуска продукции, идущую на накопление, через s, то
Ct = (l - s)Yt. (3)
В экономике s называют нормой накопления. Ее значение заключено между нулем и единицей.
За единицу времени объем оборудования изменяется на величину накопления
Kt+1 - Kt = sYt. (4)
При сбалансированном росте экономики все ее составляющие растут с одинаковым темпом роста λ. По формуле сложных процентов получаем:
Yt = (1+λ)tY, Lt = (1+λ)tL, Kt = (1+λ)tK, Ct = (1+λ)tC.
Если ввести величины, характеризующие потребление с = C/L, объем оборудования R = K/L и выпуск продукции у = Y/L на одного работника, то система соотношений (2)-(4) перейдет в систему
y=f(R), λR=sf(R), c=f(R) - sf(R). (5)
Второе из этих соотношений при заданных темпах роста λ и потреблении s определит фондовооруженность труда R как точку пересечения кривой у = sf(R) и прямой y = λR на рис. 2. Эти линии обязательно пересекутся, так как функция f(R), хотя и монотонно, растет, что означает рост выпуска с ростом вооруженности труда R, однако все более полого, т. е. это вогнутая функция. Последнее обстоятельство отражает тот факт, что пополнительное увеличение оборудования, приходящегося на одного рабочего, из-за роcта его загруженности становится все менее эффективным («закон убывающей полезности»). Различным значениям нормы накопления S отвечает семейство кривых у = sf(R). Длина f(R) - sf(R) отрезка AB, как следует из формулы (5), равна потреблению с. При s = 1 (точка А0 на рис. 2) потребления совсем нет - вся продукция идет на накопление оборудования. Уменьшим теперь норму накопления s. Тогда потребление с (длина АВ) будет уже ненулевым, хотя темп роста λ экономики (угол наклона прямой ОВ) остается тем же. В точке с ординатой R*, для которой касательная к кривой у = f(R) параллельна прямой у = λR потребление с* максимально. Ей соответствует кривая семейства у = s*f(R) с некоторой нормой накопления s*, называемой «золотой нормой накопления».
Нелегкой проблемой в математической экономике является сопоставление теории и практики: экономические показатели измерять крайне трудно - измеряются они не на лабораторных установках, наблюдения удается проводить крайне редко (вспомните переписи!), проводятся они в разных условиях и содержат массу неточностей. Поэтому здесь трудно использовать опыт измерений, накопленный в других науках, и требуется разработка специальных методов.
Развитие математической экономики вызвало появление многих математических теорий, объединяемых названием «математическое программирование» (о линейном программировании можно прочитать в статье «Геометрия»).
Вопросы применения математических методов в экономике были разработаны в трудах советского математика Л. В. Канторовича, которые были отмечены Ленинской и Нобелевской премиями.
