Линейное уравнение

Линейным уравнением с неизвестными x₁, х₂, ..., x_n называют уравнение вида

a₁x₁ + a₂x₂ + …+ a_nx_n = b;

(1)

числа a и a₂, a₂, ..., a _n называют коэффициентами при неизвестных, число b — свободным членом уравнения.

Линейные уравнения с одним неизвестным умели решать еще в Древнем Вавилоне и в Египте более чем 4 тыс. лет назад. Приведем, например, задачу из папируса Ринда (его называют также папирусом Ахмеса) , хранящегося в Британском музее и относящегося к периоду 2000–1700 гг. до н. э.: «Найти число, если известно, что от прибавления к нему 2/3 его и вычитания от полученной суммы её трети получается число 10». Решение этой задачи сводится к решению линейного уравнения

x + (2/3)x − (1/3)(x + (2/3)x) = 10, откуда x = 9.

Приведем также задачу Метродора, о жизни которого ничего не известно, кроме того, что он автор интересных задач, составленных в стихах.

<addc>r</addc>

Здесь погребен Диофант, и камень могильный
При счете искусном расскажет нам,
Сколь долог был его век.
Велением бога он мальчиком был шестую часть своей жизни;
В двенадцатой части затем прошла его светлая юность.
Седьмую часть жизни прибавим — перед нами очаг Гименея.
Пять лет протекли; и прислал Гименей ему сына.
Но горе ребенку! Едва половину он прожил
Тех лет, что отец, как скончался несчастный.
Четыре года страдал Диофант от утраты такой тяжелой
И умер, прожив для науки. Скажи мне,
Скольких лет достигнув, смерть восприял Диофант?

Решая линейное уравнение

(1/6)x + (1/12)x +(1/7)x + 5 + (1/2)x + 4 = x,

находим, что x = 84 — столько лет прожил Диофант.

Сам Диофант много внимания уделял неопределенным уравнениям (так называют алгебраические уравнения или системы таких уравнений с двумя и большим числом неизвестных с целыми коэффициентами, для которых разыскиваются целые или рациональные решения; число неизвестных должно быть больше числа уравнений). Эти уравнения называются диофантовыми уравнениями. Правда, Диофант, живший на рубеже II–III вв., в основном занимался неопределенными уравнениями более высоких степеней.

Систему алгебраических уравнений, каждое из которых имеет вид (1), называют линейной системой. Коэффициенты уравнений, входящих в систему, нумеруют обычно двумя индексами, первый из которых — номер уравнения, а второй (как и в (1)) — номер неизвестного. Например, систему m уравнений с n неизвестными записывают в виде

[math]\left. \begin{aligned} {{a}_{11}}{{x}_{1}}+{{a}_{12}}{{x}_{2}}+\ldots+{{a}_{1n}}{{x}_{n}}={{b}_{1}}, \\ {{a}_{21}}{{x}_{1}}+{{a}_{22}}{{x}_{2}}+\ldots+{{a}_{2n}}{{x}_{n}}={{b}_{2}}, \\ {{a}_{m1}}{{x}_{1}}+{{a}_{m2}}{{x}_{2}}+\ldots+{{a}_{mn}}{{x}_{n}}={{b}_{m}}. \\ \end{aligned} \right\}(2)[/math]

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

[math]\left. \begin{aligned} {{a}_{11}}{{x}_{1}}+{{a}_{12}}{{x}_{2}}={{b}_{1}}, \\ {{a}_{21}}{{x}_{1}}+{{a}_{22}}{{x}_{2}}={{b}_{2}}, \\ \end{aligned} \right\}(3)[/math]

Умножим первое уравнение системы (3) на a₂₂ и вычтем из полученного уравнения второе, умноженное на a₁₂; аналогично умножим второе уравнение системы (3) на a₁₁ и вычтем из полученного уравнения первое, умноженное на a₂₁. После этого получится система:

[math]\left. \begin{aligned} (a\lt sub\gt 11\lt /sub\gt a\lt sub\gt 22\lt /sub\gt - a\lt sub\gt 12\lt /sub\gt a\lt sub\gt 21\lt /sub\gt )x\lt sub\gt 2\lt /sub\gt = a\lt sub\gt 11\lt /sub\gt b\lt sub\gt 2\lt /sub\gt -b\lt sub\gt 1\lt /sub\gt a\lt sub\gt 21\lt /sub\gt , (a\lt sub\gt 11\lt /sub\gt a\lt sub\gt 22\lt /sub\gt - a\lt sub\gt 12\lt /sub\gt a\lt sub\gt 21\lt /sub\gt )x\lt sub\gt 1\lt /sub\gt = b\lt sub\gt 1\lt /sub\gt a\lt sub\gt 22\lt /sub\gt - a\lt sub\gt 12\lt /sub\gt b\lt sub\gt 2\lt /sub\gt , \end{aligned} \right\}(4)[/math]

[math]\left. \begin{aligned} (a_{11}a_{22}−a_{12}a_{21})x_2 = a_{11}b_2−b_1a_{21}, \\ (a_{11}a_{22}−a_{12}a_{21})x_1 = b_1a_{22}−a_{12}b_2, \\ \end{aligned} \right\}(4)[/math]

которая есть следствие системы (3). Систему (4) можно записать в виде

[math]\left. \begin{aligned} Δ⋅x_1=Δ_1, \\ Δ⋅x_2=Δ_2, \\ \end{aligned} \right\}(5)[/math]

где ∆ — определитель матрицы, составленной из коэффициентов системы (см. Определитель), ∆_i — определители матриц, получаемых из предыдущей заменой i‑го столбца на столбец из свободных членов, i = 1,2. Далее, если ∆ ≠ 0, то система (5) имеет единственное решение:

x₁ = ∆₁/∆, x₂ = ∆₂/∆.

Непосредственной подстановкой проверяется, что эта пара чисел является также и решением системы (3). По такому же правилу ищут решение системы n линейных уравнений с n неизвестными: если определитель системы ∆ отличен от нуля, то система имеет единственное решение, причем

x_i = ∆_i/∆

где ∆_i — определитель матрицы, получаемой из матрицы, составленной из коэффициентов системы, заменой в ней i‑го столбца на столбец из свободных членов. Описанное правило решения линейных систем носит название правила Крамера. (Г. Крамер — швейцарский математик, 1704–1752).

Если ∆ = 0, то должны обращаться в нуль и ∆₁ и ∆₂ (иначе (5), а тем более (3) не имеет решений). При выполнении условия ∆ = ∆₁ = ∆₂ = 0, если соответственные коэффициенты при неизвестных и свободные члены уравнения системы (3) пропорциональны, то система будет иметь бесконечно много решений; если хотя бы один из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля (например, если a₁₂ ≠ 0), то x₁, можно взять любым, тогда

x₂ = b₁/a₁₂ − a₁₁x₁/a₁₂

Осталось разобрать случай, когда система имеет вид

[math]\left. \begin{aligned} 0⋅x_1+,0⋅x_2=b_, \\ 0⋅x_1+,0⋅x_2=b_, \\ \end{aligned} \right\}[/math]

для которого ответ очевиден: если b₁ = b₂ = 0, то решением является любая пара чисел, в противном случае решений нет.

В общем случае для системы из n уравнений с n неизвестными при ∆ ≠ 0 система имеет единственное решение, которое, как уже говорилось, можно найти по правилу Крамера. Если ∆ = 0 и хотя бы один из определителей ∆_i, отличен от нуля, система несовместна (т. е. не имеет решений). В случае, когда ∆ = ∆₁ = ∆₂ = ... = ∆_n = 0, система может либо быть несовместной, либо иметь бесконечно много решений. Установить, какой из этих двух случаев реализуется с помощью определителей, довольно сложно, и мы этим заниматься не будем. На практике для решения линейных систем правилом Крамера обычно не пользуются. Чаще всего для этих целей применяют метод Гаусса (см. Неизвестных исключение).

Как известно, линейное уравнение a₁x₁ + a₂x₂ = b определяет прямую на плоскости (x₁; x₂) в случае, когда хотя бы один из коэффициентов a₁ и a₂ отличен от нуля. Если мы возьмем на плоскости две прямые то возможны следующие случаи (см. рисунок): 1) прямые параллельны и не имеют общих точек, и тогда система не имеет решений; 2) прямые пересекаются, и тогда система имеет одно решение; 3) прямые совпадают, и тогда система имеет бесконечно много решений. Но две «случайно» взятые прямые, «как правило», будут пересекаться, т. е., как правило, система двух линейных уравнений с двумя переменными будет иметь одно решение. Любая точка некоторой прямой на плоскости соответствует решению «системы» (состоящей из одного уравнения), т. е., как правило, имеет место случай 3 (случай 2 невозможен, а случай 1 реализуется, если мы возьмем уравнение 0•x₁ + 0•x₂ = b, где b ≠ 0, не определяющее прямой на плоскости). Если же на плоскости взять 3 или больше прямых, то, вообще говоря, они могут все совпадать или проходить через одну точку, но, как правило, имеет место первый случай — у прямых нет общей точки.