ЛОГАРИФМ

Логарифмом числа N по основанию а (обозначается log_aN) называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить число N, т. е. b = log_aN, если а^b = N.

Логарифм определен для любого положительного числа N при любом отличном от единицы положительном основании а. Каждому положительному числу при данном основании соответствует единственный логарифм.

По определению логарифма справедливо равенство

a^log_aN = N,

из которого на основе свойств показательной функции устанавливаются основные свойства логарифмов (здесь М, N и k - положительные числа):

log_a(MN) = log_aM + log_aN,

log_a(M/N) = log_aM - log_aN (1)

log_aM^k = klog_aM,

log_ak^{√M = (1/k) log_aM.}

Эти свойства позволяют сводить умножение и деление чисел (представленных в виде степеней некоторого числа, принятого за основание) к сложению и вычитанию показателей степеней, а возведение в степень и извлечение корня - к умножению и делению на показатель степени, поэтому применение логарифмов упрощает выполнение умножения и деления. На этом основан очень популярный прежде счетный прибор - логарифмическая линейка, которая сейчас всюду вытесняется микрокалькуляторами.

При нашей десятичной системе счисления самым удобным основанием является число 10. Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается lg:

lgN = log₁₀N.

При основании, равном 10, только логарифмы целых степеней числа 10 представляются целыми числами (lg 10³ = 3, lg 0,01 = lg 10<sup-2 = —2), логарифмы же остальных чисел нецелые. Целая часть значения логарифма называется характеристикой, дробная мантиссой.

Любое положительное число N всегда можно представить в виде N = 10ⁿ•х, где n - целое число, а х заключено в пределах от 1 до 10. Из этого представления числа N следует, что lg N = n + lg х, где n - характеристика, а lg х-мантисса логарифма числа N.

Для числа, большего единицы, характеристика на единицу меньше числа цифр у целой части этого числа. Для числа, заключенного между нулем и единицей и записанного десятичной дробью, характеристика отрицательна и равна взятому со знаком минус числу нулей до первой значащей цифры, например для числа 0,0216 его характеристика равна -2.

Десятичные логарифмы используются в практике главным образом в силу исторической традиции. Гораздо более важными в математике и ее приложениях являются натуральные логарифмы, т.е. логарифмы с основанием r. Это число, к которому неограниченно приближаются числа вида (1 + 1/n)ⁿ при неограниченном возрастании числа n. Буквой е это число предложил назвать Л. Эйлер. Важность логарифмической функции с основанием объясняется тем, что в математике используется показательная функция, как правило, с основанием e, а поэтому важна и обратная к ней функция.

Логарифмы были введены шотландским математиком Дж. Непером (1550-1617) и независимо от него швейцарским механиком и математиком И. Бюрги (1552-1632). Бюрги пришел к логарифмам раньше, но опубликовал свои таблицы с опозданием (в 1620 г.), и первой в 1614 г. появилась работа Непера «Описание удивительной таблицы логарифмов».

Первые таблицы десятичных логарифмов были составлены изобретательным и остроумным вычислителем, английским математиком Г. Бригггсом (1561-1630).

На русском языке первые логарифмические таблицы были изданы в 1703 г.