ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ

Линейная функция - двучлен первой степени, т.е. функция вида у = ах + b. Линейная функция определена на всей числовой прямой. Функция называется линейной потому, что ее график есть прямая линия.

Рассмотрим два значения аргумента x₁ и x₂, им соответствуют значения линейной функции у₁ = ах₁ + b и у₂ = ах₂ + b. Изменение аргумента на величину х₂ - х₁ вызывает изменение функции на величину у₂ - y₁ = а(х₂ — х₁) при этом отношение изменения функции к изменению аргумента равно а:

(y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) = a.

Таким образом, у линейной функции изменение функции пропорционально изменению аргумента, и это есть характеристическое свойство линейной функции. Поэтому с помощью линейной функции описываются пропорциональные зависимости.

Например, цена р купленного отреза ткани пропорциональна его длине l, а именно р = kl (здесь k -цена одного метра ткани); при равномерном движении с постоянной скоростью v пройденный путь s пропорционален времени t и выражается формулой s = vt, т.e. s-линейная функция t.

Пример линейной функции дает зависимость между различными шкалами температур. Абсолютная температура t_K (по Кельвину) связана с температурой t_C на шкале Цельсия формулой t_C = t_K + 273°, а переход от температуры по Фаренгейту (шкале, принятой до сих пор в Англии и США) /ф к температуре на шкале Цельсия tc выражается такой линейной функцией: t_Ф = 1,8t_C + 32° (на шкале Цельсия промежуток между точкой замерзания и точкой кипения разделен на 100 частей, а на шкале Фаренгейта - на 180, и 0°С соответствует 32°Ф).

Частный случай линейной функции - прямая пропорциональная зависимость у = ах, т. е. линейная функция при b = 0. График этой функции есть прямая, проходящая через начало координат (рис. 1). Число а называется угловым коэффициентом прямой и равен тангенсу угла α, образованного прямой с положительным направлением оси Ох.

График линейной функции у = ах + b (b ≠ 0) получается из графика функции у = ах параллельным переносом на b единиц вверх при b > 0 и на b единиц вниз при b < 0 (рис. 2). Поскольку прямая определяется своими двумя точками, то для построения графика линейной функции достаточно найти координаты лишь двух ее точек.

Линейная функция простейшая и, можно сказать, важнейшая среди всех функций. Многие физические законы выражаются с помощью линейной функции (мы уже говорили о пройденном пути при постоянной скорости), но важно то, что целый ряд сложных нелинейных зависимостей «в малом» можно считать линейными. Например, по закону Гука при небольших удлинениях (и только при них) сила упругости F пропорциональна величине х - удлинению пружины: F = -kх. Другой пример: напряжение V по закону Ома линейно зависит от силы тока J, именно V= RJ (здесь R-сопротивление), однако этот закон также справедлив лишь при не очень больших изменениях силы тока.