Квантовая механика

В 1900 г. М. Планк обнаружил, что имеется единственная возможность объяснить распределение по частотам излучения из отверстия в ящике с нагретыми стенками (см. Физические парадоксы): частицы, излучающие волны частоты со, могут изменять свою энергию только скачкообразно, порциями ħω. Коэффициент ħ называют постоянной Планка.

Основываясь на этом, Планк получил свою знаменитую формулу, с огромной точностью описавшую экспериментальное распределение интенсивности излучения для всех частот и при всех температурах стенок. Классическая физика не знала такой скачкообразности — скачки энергии так малы из-за малости Я, что изменения кажутся непрерывными.

В 1905 г. скачкообразность подтвердилась работой А. Эйнштейна по теории фотоэффекта. Фотоэффект можно объяснить, только предположив, что свет — это набор частиц — фотонов у которые, взаимодействуя с электроном, выбрасывают его из атома. Представление о свете как о классической электромагнитной волне не могло объяснить концентрации энергии на одном электроне, необходимой для его вырывания. Эйнштейн показал, что фотон с энергией е имеет импульс р = ε/с = ħω/c = 2πħ/с. Энергия волны заданной частоты может изменяться только скачкообразно, порциями ħω, подобно энергии излучателей в рассуждении Планка. Скачкообразность распространилась и на электромагнитные волны.

В некотором смысле точка зрения Эйнштейна означала возврат к ньютоновской теории корпускул (см. Оптика, Фотон). Опять возник вопрос, на который не смог ответить И. Ньютон: как объединить волновую природу света, доказанную опытами по интерференции и дифракции, с корпускулярной, необходимой для объяснения фотоэффекта?

В 1913 г. Н. Бор распространил на атом идею о дискретности возможных значений энергий излучателей: допустимы не все орбиты, а лишь некоторые. Бор установил правила для нахождения этих допустимых орбит. С классической точки зрения электрон, вращающийся вокруг ядра, должен излучать электромагнитные волны. Он движется с ускорением, а по законам классической электродинамики не излучает только заряд, движущийся по прямой с постоянной скоростью. Почему же электрон не падает на ядро, излучая свет?

Согласно правилам Бора, электрон может излучать свет только при переходе с одной орбиты на другую порциями с частотой со, равной ω = (Еn—Еm)/ħ, где Еn и Еm — значения энергии электрона на n-той и m-той орбитах. На орбите с наименьшей возможной энергией электрон живет неограниченно долго — ему некуда переходить. Так была объяснена стабильность атомов.

Теория Бора описывала все главнейшие свойства атомов, но смысл правил квантования оставался загадочным. Бор назвал их постулатами — недоказанными предположениями. Их смысл стал ясен только после создания квантовой механики.

Правила квантования Бора — одно из удивительных явлений в истории науки. Только гениальным озарением можно объяснить появление этой теории до того, как выяснились волновые свойства частиц. Эйнштейн сказал по этому поводу: «Это высшая музыкальность в области теоретической мысли».

В 1924 г. французский ученый Л. де Бройль предположил, что поведение частиц, например электронов, должно описываться волновым процессом с длиной волны λ, связанной с количеством движения р так же, как связана длина волны фотонов с их импульсом: К = 2πħ/р. Уже через три года это предсказание подтвердилось опытом: американские физики К. Дэвиссон и Л. Джермер открыли дифракцию электронов на кристаллах — электрон, действительно, ведет себя как волна. По расположению дифракционных пятен после прохождения кристалла можно было найти длину волны, связанной с электроном данной энергии. Она совпала с предсказанием де Бройля.

Следующее важное событие произошло в 1926 г. Э. Шрёдингер обобщил догадку де Бройля на случай, когда электрон движется не в свободном пространстве, а во внешнем поле, например в кулоновском поле ядра. Он получил уравнение для функции, описывающей волновые свойства частиц. В свободном пространстве решение этого уравнения переходит в функцию, описывающую волновой процесс с длиной волны де Бройля. Во внешнем поле длина волны изменяется от точки к точке. Стационарное состояние электрона в атоме водорода на языке уравнения Шрёдингера означает, что получилась стоячая волна. Для этого в области движения электрона должно уложиться целое число волн де Бройля. В этом и состоит смысл правил квантования Бора. Стоячие волны могут образоваться только при дискретных значениях энергии электрона, когда укладываются 1, 2 и т. д. волн.

Вот простой пример того, как получаются дискретные уровни энергии. Предположим, что частица движется в одном направлении внутри интервала длины l, или, иными словами, внутри потенциальной ямы длины l с бесконечными стенками. Волновая функция на краях ямы должна обращаться в нуль. Стационарное состояние получается из условия, что на длине l должно уложиться целое число полуволн 2l/λ = n. Теперь используем формулу, связывающую длину волны де Бройля с импульсом частицы: р = 2πħ/λ = πħn/l. Найдем энергию Е = р²/2m. Нетрудно получить такую формулу: E=π²ħ²n²/2ml². Аналогично можно найти и уровни энергии в более сложных случаях.

Вот как выглядит уравнение Шрёдингера для одномерного движения в потенциале V(x):

d²ψ/(d²x²ψ) + 2m/ħ² • (E-V)ψ = 0

Первое слагаемое — вторая производная ψ по х. Если первая производная характеризует скорость изменения ψ с х, то вторая производная дает скорость изменения этой скорости.

Решения этого уравнения для V = 0 очень легко найти. Их два: ψ₁ = a₁ sin kx и ψ₁ = a₂ cos kx. Они и описывают волны де Бройля: k = 2πħ/λ = p/ħ = √(2mE)/ħ.

Для частицы, колеблющейся около положения равновесия, когда возвращающая сила пропорциональна величине отклонения х, потенциал V(x) имеет вид: V(x) = γх²/2. Точное решение уравнения Шрёдингера для подобного потенциала непростая задача; приведем только результат. Возможные значения энергии такого осциллятора Еn = (n + 1/2)ħω. В наинизшем состоянии (n = 0), в отличие от классического осциллятора, ни кинетическая, ни потенциальная энергии не равны нулю. Сумма их равняется ħω/2. Частица колеблется около положения равновесия, так что среднее значение кинетической энергии равняется среднему значению потенциальной и равняется ħω/4.

Опыты по дифракции электронов тоже описываются уравнением Шрёдингера, если предположить, что интенсивность пучка электронов после рассеяния пропорциональна квадрату модуля волновой функции. Там, где волны, рассеянные атомами кристаллической решетки, складываются, получается максимальная интенсивность электронного пучка.

При уменьшении интенсивности пучка обнаруживается, что дифракционная картина не изменяется, даже если пролетает, скажем, один электрон в минуту. Значит, уже одному электрону нужно приписать вероятность попасть в то или иное место фотопластинки, стоящей за кристаллом.

В 1926 г. немецкий физик М. Борн предположил, что вероятность найти электрон в том или ином месте равняется квадрату модуля волновой функции. Что же помогло прийти к такому заключению?

Вспомним, что теория волновых явлений света — интерференции и дифракции — была разработана задолго до уравнения Максвелла, т. е. до понимания электромагнитной природы света. Предполагалось только, что источник света испускает волны неизвестной природы, а интенсивность света пропорциональна квадрату той величины, которая колеблется. В современном представлении колеблются во времени и пространстве электрические и магнитные поля, и интенсивность света пропорциональна их квадрату. Но почти все волновые проявления объясняются независимо от природы света.

Было естественно и для волн, связанных с частицами, считать, что есть некий волновой процесс, а интенсивность — в нашем случае вероятность — пропорциональна квадрату модуля волновой функции.

Сначала предполагали, что волновым свойствам частицы соответствует некое реальное физическое поле, подобное электромагнитному Полю в световой волне. Но тогда уже один электрон давал бы в одном акте всю дифракционную картину, а он чернит только одно зерно фотопластинки. И это не единственный довод против такого взгляда на природу волнового процесса.

Итак, волновая функция частицы не есть какое-либо физическое поле; она описывает потенциальные возможности исхода того или иного последующего наблюдения.

Истинный смысл волновой функции выяснился после того, как В. Гейзенберг получил соотношение неопределенностей (1927), и особенно в многолетних спорах Н. Бора с А. Эйнштейном.

Квантовая механика не дает однозначного ответа на некоторые вопросы, а лишь, вероятность того или иного результата. Главное открытие квантовой механики — вероятностный характер предсказаний — следствие того, что мы пользуемся классическими понятиями, не имеющими точно определенного смысла (см. Соотношение неопределенностей).

Дальнейшее развитие квантовая механика получила в работах английского физика П. Дирака, обобщившего уравнение Шрёдингера на случай частиц со спином 1/2, движущихся со скоростями, сравнимыми со скоростью света. Основное следствие уравнения Дирака состоит в том, что наряду с частицами должны существовать античастицы (например, наряду с электроном — позитрон), отличающиеся от частиц только знаком заряда.

В 1930 г. Э. Ферми применил квантовую механику к электромагнитному полю. Волна с волновым вектором k представляет собой осциллятор, в котором колеблются электрическое и магнитное поля. Энергия магнитного поля играет роль потенциальной энергии осциллятора, а энергия электрического поля — роль кинетической. Но применение квантовой механики к осциллятору приводит к тому, что энергия осциллятора может изменяться порциями величины ħω и, кроме того, в состоянии с наинизшей энергией кинетическая и потенциальная энергии не равны нулю. В вакууме, где нет ни одной частицы, ни одного кванта, электрическое и магнитное поля для каждого волнового вектора колеблются около нулевого значения. В пустоте существуют нулевые колебания электромагнитного поля. Если для какого-нибудь волнового вектора энергия переходит из самого нижнего значения в первое возбужденное, говорят, что в пространстве появился один кванте волновым вектором k, энергией ε = ħkc, импульсом р = ħk. Это и есть фотон, предсказанный Эйнштейном в 1905 г.

Согласно уравнению Шрёдингера, атом должен был бы неограниченно долго находиться в любом возбужденном состоянии. Именно нулевые колебания заставляют электрон переходить на более низкую орбиту с испусканием кванта света — фотона.

Применение квантовой механики к другим полям, например к описывающим электроны и позитроны, приводит к аналогичному результату — в вакууме существуют нулевые колебания электрон-позитронного поля, непрерывно рождаются и исчезают всевозможные частицы. Такие временно образующиеся частицы называют виртуальными (см. Вакуум физический).