КУБ

Куб, или гексаэдр (шестигранник),- прямоугольный параллелепипед с равными измерениями, один из видов правильных многогранников. Его легко склеить из развертки (рис. 1). Куб - единственный из правильных многогранников, которым можно замостить пространство, прикладывая один кубик к другому. Именно поэтому объем куба с единичным ребром принят за единицу объема. Удивительным образом куб связан с четырьмя другими видами правильных многогранников. Так, центры граней куба являются вершинами октаэдра и, наоборот, центры граней октаэдра суть вершины куба (рис. 2).

В куб можно вписать правильный тетраэдр - его вершинами являются концы скрещивающихся диагоналей двух параллельных граней куба (рис. 3). Остальные четыре вершины куба служат вершинами второго вписанного тетраэдра.

Куб можно вписать в додекаэдр так, что ребра куба будут диагоналями граней додекаэдра (рис. 4). Ребром вписанного в додекаэдр куба может быть любая из пяти диагоналей какой-нибудь грани додекаэдра, так что в додекаэдр указанным образом можно вписать 5 одинаковых кубов. Наконец, на каждой из шести граней куба можно выбрать по паре точек так, что 12 выбранных точек будут вершинами икосаэдра,- рис. 5 (выделенные отрезки лежат на гранях куба).

Среди прочих примечательных свойств куба отметим, что в точности четыре его Течения являются правильными шестиугольниками -эти сечения проходят через центр куба перпендикулярно четырем его диагоналям (рис. 6).

Куб - пространственный аналог квадрата на плоскости. Особую четкость эта аналогия приобретает, если привлечь координаты. Квадрат на плоскости Оху можно задать неравенствами

0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1,

и его вершины будут иметь координаты (0; 0), (0; 1), (1; 0) и (1; 1). В координатном пространстве Oxyz куб задается неравенствами

0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1;

его 8 вершин имеют координаты (0; 0; 0), (0; 0; 1), (0; 1; 0), (0; 1; 1), (1; 0; 0), (1; 0; 1), (1; 1; 0) и (1; 1; 1). Квадрат имеет 4 стороны, лежащие на прямых х = 0, у = 0, х = 1 и у = 1. Куб имеет 6 (плоских, или двумерных) граней, лежащих в плоскостях, задаваемых уравнениями х = 0, у = 0, z = 0, х = 1, у = 1 и z = 1. Эту аналогию можно продолжить в две стороны.

Одномерный аналог куба и квадрата - это, конечно, отрезок 0 ≤ x ≤ 1 оси Ох. Четырехмерный же куб в четырехмерном пространстве, точки которого понимают как всевозможные (упорядоченные) четверки чисел (х; у; z; t), задается системой неравенств

0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 1.

Четырехмерный куб, или гиперкуб, имеет уже 16 вершин (точек с координатами (х; у; z; t), где х, у, z и t могут равняться 0 или 1) и 8 трехмерных граней, каждая из которых представляет собой обычный (трехмерный) куб, все 8 вершин которого удовлетворяют одному из уравнений: х = 0, у = 0, z = О, t = О, х = 1, у = 1, z = 1 и t = 1. Двумерных граней у гиперкуба 24 - это квадраты, у вершин которых зафиксированы (равны 0 или 1) уже две координаты (из четырех). Наконец, ребер, одномерных граней, у гиперкуба 32.

Аналогично тому, как обычный куб имеет плоскую (двумерную) развертку (рис. 1), гиперкуб может быть «развернут» в трехмерном пространстве. Эта развертка будет состоять из 8 трехмерных граней - обычных кубов - и может быть изображена так, как показано на рис. 7. В четырехмерном пространстве каждый из кубов развертки граничит с шестью другими. На рис. 8 дан плоский чертеж трехмерного «изображения» гиперкуба (само это изображение легко соорудить из спичек и пластилина). Пространственную проекцию гиперкуба можно представить и изготовить по плоскому чертежу на рис. 9.