ЗАДАЧА НАПОЛЕОНА

Французский император Наполеон Бонапарт был любителем математики. Он находил время заниматься ею для собственного удовольствия, чувствовал в ней красоту и объект, достойный приложения остроумия и изобретательности. Одно из свидетельств тому - несколько составленных им геометрических задач.

Вот как можно сформулировать одну из них: На сторонах произвольного треугольника AВС внешним образом построены как на основаниях равносторонние треугольники (рис. 1). Доказать, что центры этих треугольников также являются вершинами равностороннего треугольника.

Задача имеет довольно изящное решение. Пусть O₁, O₂ и O₃ - центры равносторонних треугольников. Выполним дополнительное построение: соединим отрезками прямых точки O₁, O₂ и O₃ с ближайшими (к каждой из них) двумя вершинами треугольника AВС и между собой.

По свойствам равностороннего (правильного) треугольника AO₁ = O₁B, ВO₂ = O₂C, СО₃ = O₃А ; ∠AO₁B = ∠BO₂C = ∠СО₃А = 120° и ∠O₁AO₃ + ∠0₁BO₂ + ∠O₂CO₃ = 360°. Выделим шестиугольник АO₁ВO₂СO₃, а внешние к нему невыпуклые четырехугольники отбросим. Получим фигуру, изображенную на рис. 2.

Отрезая теперь от упомянутого шестиугольника треугольники О₁АО₃ и O₂СO₃, перемещая их в плоскости в положение, которое указано на рис. 3, получаем четырехугольник O₁DO₂O₃. Отрезок O₁O₂ делит его на два равных (по трем сторонам) треугольника. Углы DO₂O₃ и DO₁O₃ равны 120° каждый. Поэтому углы O₂O₁O₃ и O₁O₂O₃ равны 60° каждый. Следовательно, треугольник O₁O₂O₃ равносторонний, что и требовалось доказать.

Задача эта может послужить отправным пунктом для небольшого геометрического исследования. Проверьте, будут ли центры равносторонних треугольников, построенных внутренним образом на сторонах произвольного треугольника как на основаниях, являться вершинами равностороннего треугольника.