Евклид и его «Начала»
В течение двух тысяч лет геометрию узнавали либо из «Начал» Евклида, либо из учебников, написанных на основе этой книги. Лишь профессиональные математики обращались к трудам других великих греческих геометров: Архимеда, Аполлония-и геометров более позднего времени. Классическую геометрию стали называть евклидовой в отличие от появившихся в XIX в. «неевклидовых геометрий».
Об этом поразительном человеке история сохранила настолько мало сведений, что нередко высказываются сомнения в самом его существовании. Что же дошло до нас? Каталог греческих геометров Прокла Диадоха Византийского, жившего в V в. н.э.,-первый серьезный источник сведений о греческой геометрии. Из каталога следует, что Евклид был современником царя Птолемея I, который царствовал с 306 по 283 г. до н.э.
Евклид должен быть старше Архимеда, который ссылался на «Начала». До наших времен дошли сведения, что он преподавал в Александрии, столице Птолемея I, начинавшей превращаться в один из центров научной жизни. Евклид был последователем древнегреческого философа Платона, и преподавал он, вероятно, четыре науки, которые, по мнению Платона, должны предшествовать занятиям философией: арифметику, геометрию, теорию гармонии, астрономию. Кроме «Начал» до нас дошли книги Евклида, посвященные гармонии и астрономии.
Что касается места Евклида в науке, то оно определяется не столько собственными его научными исследованиями, сколько педагогическими заслугами. Евклиду приписывается несколько теорем и новых доказательств, но их значение не может быть сравнимо с достижениями великих греческих геометров: Фале-са и Пифагора (VI в. до н. э.), Евдокса и Теэте-та (IV в. до н. э.). Величайшая заслуга Евклида в том, что он подвел итог построению геометрии и придал изложению столь совершенную форму, что на две тысячи лет «Начала» стали энциклопедией геометрии.
Евклид с величайшим искусством расположил материал по 13 книгам так, чтобы трудности не возникали преждевременно. Позже греческие математики включили в «Начала» еще две книги-XIV-ю и XV-ю, написанные другими авторами.
Первая книга Евклида начинается с 23 «определений», среди них такие: точка есть то, что не имеет частей; линия есть длина без ширины; линия ограничена точками; прямая есть линия, одинаково расположенная относительно всех своих точек; наконец, две прямые, лежащие в одной плоскости, называются параллельными, если они, сколь угодно продолженные, не встречаются. Это скорее наглядные представления об основных объектах, и слово «определение» в современном понимании не точно передает смысл греческого слова «хорой», которым пользовался Евклид.
В книге I рассматриваются основные свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов, сравниваются их площади. Здесь появляется теорема о сумме углов треугольника. Затем следует пять геометрических постулатов: через две точки можно провести одну прямую; каждая прямая может быть сколь угодно продолжена; данным радиусом из данной точки можно провести окружность; все прямые углы равны; если две прямые проведены к третьей под углами, составляющими в сумме меньше двух прямых, то они встречаются с той же стороны от этой прямой. Все эти постулаты, кроме одного, вошли в современные курсы основной геометрии. За постулатами приводятся общие предположения, или аксиомы,-восемь общематематических утверждений о равенствах и неравенствах. Книга заканчивается теоремой Пифагора (см. Пифагора теорема).
В книге II излагается геометрическая алгебра, с помощью геометрических чертежей даются решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям. Алгебраической символики тогда не существовало.
В книге III рассматриваются свойства круга, свойства касательных и хорд, в книге IV-правильные многоугольники, появляются основы учения о подобии. В книгах VII-IX изложены начала теории чисел (см. Чисел теория), основанной на алгоритме нахождения наибольшего общего делителя, приводится алгоритм Евклида (см. Евклида алгоритм), сюда входит теория делимости и теорема о бесконечности множества простых чисел.
Последние книги посвящены стереометрии. В книге XI излагаются начала стереометрии, в XII с помощью метода исчерпания определяются отношение площадей двух кругов и отношение объемов пирамиды и призмы, конуса и цилиндра. Вершина стереометрии у Евклида-теория правильных многогранников. В «Начала» не попало одно из величайших достижений греческих геометров - теория конических сечений. О них Евклид написал отдельную книгу «Начала конических сечений», не дошедшую до нас, но ее цитировал в своих сочинениях Архимед.
«Начала» Евклида не дошли до нас в подлиннике. Двенадцать столетий отделяют от Евклида самые старые известные списки, семь столетий-сколь-нибудь подробные сведения о «Началах». В средневековую эпоху интерес к математике был утрачен, некоторые книги «Начал» пропали и потом с трудом восстанавливались по латинским и арабским переводам. А к тому времени тексты обросли «улучшениями» позднейших комментаторов.
В период возрождения европейской математики (XVI в.) «Начала» изучали и воссоздавали заново. Логическое построение «Начал», аксиоматика Евклида воспринимались математиками как нечто безупречное до XIX в., когда начался период критического отношения к достигнутому, который закончился новой аксиоматикой евклидовой геометрии-аксиоматикой Д. Гильберта. Изложение геометрии в «Началах» считалось образцом, которому стремились следовать ученые и за пределами математики.
