ДЕЛИМОСТЬ

Делимость - одно из основных понятий, изучаемых в теории чисел (см. Чисел теория). Говорят, что целое число а делится на целое b ≠ 0, если частное a/b является целым, т. е. существует такое целое число c, что a = bc. Например, 54 делится на 6, так как 54 = 6•9; 273 делится на 21, так как 273 = 21•13. Из определения делимости следует, что число 0 делится на любое число, отличное от нуля.

Часто утверждение о делимости числа а на число b выражают другими равнозначными словами: a кратно b, b — делитель а или же b делит a.

Всякое целое число а делится по крайней мере на четыре числа a, -a, 1, -1. Натуральное число а называется простым, если никаких других делителей оно не имеет.

Приведем несколько свойств делимости:

а) если числа a и b делятся на с, то и числа a + b, a - b делятся на c;

б) если a делится на b и c - произвольное целое число, то ac делится на bc;

в) если a делится на b и b - на c, то а делится на c.

Зная разложения чисел a и b на простые множители, можно легко выяснить, делится ли a на b. Для того чтобы число a делилось на число b, необходимо и достаточно, чтобы каждый простой множитель, входящий в разложение числа b, входил и в разложение числа a; причем если простой множитель встречается k раз в разложении числа b, то он должен встретиться не менее k раз и в разложении числа a.

Если целые числа a и b заданы своими записями в десятичной системе счисления, то, разделив «в столбик» первое число на второе, мы найдем их частное, а значит, сможем ответить на вопрос, делится ли a на b.

Уже давно были найдены признаки делимости чисел, которые позволяют в некоторых случаях быстро установить делимость одного числа на другое, не прибегая к непосредственному делению «в столбик». Среди этих признаков практически наиболее удобны следующие (связанные с записью числа в десятичной системе):

а) для делимости на 2 нужно, чтобы последняя цифра числа делилась на 2;

б) для делимости на 3 нужно, чтобы сумма цифр числа делилась на 3;

в) для делимости на 4 нужно, чтобы число, записанное двумя последними цифрами, делилось на 4;

г) для делимости на 5 нужно, чтобы последняя цифра была 0 или 5;

д) для делимости на 8 нужно, чтобы число, записанное тремя последними цифрами, делилось на 8;

е) для делимости на 9 нужно, чтобы сумма цифр делилась на 9;

ж) для делимости на 10 нужно, чтобы последняя цифра была 0;

з) для делимости на 11 нужно, чтобы разность между суммой цифр, стоящих на четных местах, и суммой цифр, стоящих на нечетных местах, делилась на 11.

Развитие идеи делимости привело к понятию сравнения, использование которого позволило перенести в теорию чисел алгебраические методы и с их помощью получить большое количество интересных результатов.