Гармонический ряд

Гармонический ряд — числовой ряд 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n + ... .

Называется он так потому, что каждый член гармонического ряда, начиная со второго, равен среднему гармоническому двух соседних (см. Средние значения). Члены гармонического ряда с возрастанием номера убывают и стремятся к нулю, однако частичные суммы S_n = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n неограниченно возрастают. Чтобы в этом убедиться, достаточно заметить, что

S₁ = 1, S₂ = 1 + 1/2, S₄ = S₂ + (1/3 + 1/4) > S₂ + (1/4 + 1/4) = 1 + 2/2, S₈ = S₄ + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) > S₄ + (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8) > 1 + 3/2.

Продолжая эти рассуждения, приходим к выводу, что сумма 2^k членов гармонического ряда больше, чем 1 + k/2. Отсюда следует, что частичные суммы гармонического ряда неограниченно возрастают, т. е. гармонический ряд является расходящимся (см. Ряд). Однако этот рост идет очень медленно. Л. Эйлер, изучавший свойства гармонического ряда, нашел, что

S_{1 000} ≈ 7,48, а S_{1 000 000} ≈ 14,39.

Более того, Эйлер установил замечательную зависимость для частичных сумм гармонического ряда, показав, что существует предел разности S_n - ln n, т. е. lim_n→∞ (S_n - ln n) = C.

Число C в его честь называется постоянной Эйлера, она приближенно равна 0,5772 (сам Эйлер, исходя из других соображений, вычислил C с точностью до 15 знаков).

Представим себе «лесенку», сложенную из n одинаковых кирпичей, следующим образом: второй кирпич подложен под первый так, что центр тяжести первого приходится на правый край второго, затем под эти два кирпича подложен третий так, что общий центр тяжести первых двух приходится на правый край третьего и т.д. (рис. 1). У такой «лесенки» центр тяжести проецируется в точку А, следовательно, «лесенка» не упадет. Если длина кирпича l, то 1-й окажется сдвинутым относительно 2-го на l/2, 2-й окажется сдвинутым относительно 3-го на l/4, (k+1)-й относительно k-го на l/2k, и вся «лесенка» будет сдвинута вправо на

∆_n= = 1/2 • (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/(n-1)).

Выражение в скобках есть частичная сумма гармонического ряда. Следовательно, указанным способом можно сложить «лесенку», сдвинутую сколь угодно далеко вправо. Однако, как было замечено, ∆_n растет очень медленно. Например, если сложить 1000 кирпичей, то ∆_{1 000} составит всего лишь 3,8 длины кирпича.