ГРУППА

Группа - одно из основных понятий математики, применяемое в алгебре, геометрии, физике и других науках.

С точки зрения диалектической теории познания понятие группы является абстракцией второй ступени. Математические абстракции первой ступени можно назвать слепками с объектов и процессов реального мира, т.е. для них имеются «прототипы» в окружающей нас действительности. Например, человек многократно наблюдал множества, содержащие два элемента: две руки, два глаза и т.д. Постепенно, путем отвлечения от конкретных свойств элементов, входящих в эти множества, возникает новое понятие - число 2.

Математические абстракции первой ступени возникли в глубокой древности. Так, Евклид, который жил более двух тысяч лет назад, использовал уже сформированные понятия о числах и действиях над ними, о геометрических линиях, поверхностях и телах. У Архимеда мы находим представление о векторном понимании механических величин (силы, скорости) и их сложении по правилу параллелограмма.

В XIX в. в распоряжении математиков было уже несколько конкретных действий: сложение действительных чисел, умножение чисел, сложение векторов, умножение (или, лучше сказать, композиция) геометрических преобразований, умножение перестановок (т.е. преобразований конечного множества) и др. При этом оказалось, что свойства этих математических действий во многом похожи. Например, и операция сложения чисел, и сложения векторов, и умножения чисел, и композиции геометрических преобразований обладают свойством ассоциативности (сочетательности). Постепенно возникла абстракция второй ступени, т.е. абстракция уже сформировавшихся математических понятий первой ступени: математики стали отвлекаться от конкретного вида складываемых (или перемножаемых) элементов, т. е. от того, что складывается, а обращали внимание лишь на то, что в некотором множестве задано сложение и это действие обладает определенными свойствами (ассоциативности и др.). Это и привело к возникновению понятия группы.

Расскажем подробно об этом понятии. Свойства сложения действительных чисел хорошо известны:

1) а + (b + с) = (а + b) + с для любых а, b, с (ассоциативность);

2) а + b = b + а для любых a, b (коммутативность);

3) существует такое число 0, что а + 0 = а для любого а (существование нуля);

4) для любого а существует такое число -а, что а + (-а) = 0 (существование противоположного элемента).

Точно такими же свойствами обладает сложение векторов:

1) а^→ + (b^→ + с^→) = (а^→ + b^→) + с^→;

2) а^→ + b^→ = b^→ + а^→;

3) а^→ + 0^→ = a^→;

4) a^→ +(-a^→) = 0^→.

Далее, операция умножения, если ее рассматривать в множестве всех отличных от нуля действительных чисел, также имеет аналогичные свойства:

1) a(bc) = (ab)c (ассоциативность);

2) ab = ba (коммутативность);

3) существует такое число 1, что a•1=a, для любого а;

4) для любого а(а ≠ 0) существует такое число а^-1, что а•а^-1 = 1.

А вот операция композиции движений (см. Геометрия) обладает лишь тремя из этих свойств:

1) h∘(g∘f) = h∘(g∘f) для любых движений f,g,h;

2) существует такое движение е (тождественное преобразование), что f∘e = f, e∘f = f для любого движения f;

3) для любого движения f существует обратное движение f^-1, удовлетворяющее соотношениям f∘f^-1 = f^-1∘f = е. Коммутативность же, т.е. соотношение g∘f = f∘g для движений, вообще говоря, места не имеет.

Теперь будет понятно следующее определе-.ние: множество G, в котором задана некоторая операция, сопоставляющая двум элементам a, b из G некоторый элемент а * b того же множества G, называется группой, если выполнены следующие свойства:

I) а*(b*с) = (а*b)*с для любых а, b, с из G;

II) существует такой элемент e∈G (единица, или нейтральный элемент группы G), что а*е = а и е*а = а для любого a∈G;

III) для любого a∈G существует такой элемент a^-1∈G (обратный элемент), что а*а^-1 = е, а^-1*а = е;

если, кроме того, для любых a, b из G справедливо соотношение

IV) a*b = b*a, то группа G называется коммутативной (или абелевой).

Из сказанного выше ясно следующее: 1) множество R всех действительных чисел, в котором рассматривается операция сложения, является группой (и притом абелевой); 2) множество R² всех векторов на плоскости с имеющейся в нем операцией сложения является абелевой группой; 3) множество всех отличных от нуля действительных чисел, в котором рассматривается операция умножения, является абелевой группой; 4) множество всех движений плоскости, в котором рассматривается операция композиции, является группой, но не абелевой (т.е. не коммутативной).

В чем польза от введения такой «абстракции второй ступени», какой является группа? Ответ можно сформулировать так. Доказав на основе аксиом 1-4 некоторую теорему теории абелевых групп, мы сможем утверждать, что эта теорема будет справедлива и для действительных чисел, и для векторов, и для любой другой абелевой группы. Это позволит, один раз доказав теоремы об абелевых группах, применять их в теории относительности, в кристаллографии, в ядерной физике, т.е. во всех областях, где появляются группы.

Свои первые применения понятие группы нашло в алгебре. Особенно интересной была теория, созданная французским математиком Э. Галуа.

В геометрии важную роль играют группы самосовмещений фигур. Если F - некоторая фигура на плоскости (или в пространстве), то можно рассмотреть множество GF всех тех движений плоскости (или пространства), при которых фигура F переходит в себя. Это множество является группой (см. Геометрические преобразования). Например, для равностороннего треугольника Т группа движений плоскости, переводящих треугольник в себя, состоит из 6 элементов: поворотов на углы 0, 2π/3, 4π/3 вокруг точки О и симметрий относительно трех прямых. Они изображены на рис. 1 красными линиями. Элементы труппы самосовмещений правильного треугольника могут быть заданы и иначе. Чтобы пояснить это, пронумеруем вершины правильного треугольника Г числами 1, 2, 3. Любое самосовмещение f треугольника Т переводит точки 1, 2, 3 в те же самые точки, но взятые в ином порядке, т.е. f может быть условно записано в виде одной из таких скобок:

│1 2 3│, │1 2 3│, │1 2 3│ и т.д., (1)

│2 3 1│, │1 3 2│, │3 2 1│

где числами 1, 2, 3 обозначены номера тех вершин, в которые переходят вершины 1, 2, 3 в результате рассматриваемого движения. Например, первая из этих скобок представляет собой условную запись поворота на угол 2π/3, вторая обозначает симметрию относительно прямой, проходящей через вершину 1.

Скобки вида (1) называются подстановками из трех элементов 1, 2, 3. Перемножение подстановок (соответствующее композиции движений) легко проследить. Например, при первой из подстановок (1) вершина 1 переходит в 2, а при второй подстановке (1) эта вершина 2 переходит в 3, т.е. в результате последовательного выполнения этих подстановок вершина 1 переходит в 3. Проследив это и для других вершин, находим, что произведение первой и второй подстановок (1), т.е. результат их последовательного выполнения, представляет собой 3-ю из этих подстановок.

Еще одним примером конечной группы может служить группа Z_ь, элементами которой являются вычеты по модулю m (см. Сравнения).

Например, группа Z₂ состоит из двух элементов, один из них-множество всех четных чисел, а другой - множество всех нечетных. Если первый из этих элементов обозначить через 0, а второй - через 1 (т.е. О-«чет», 1-«нечет»), то в соответствии с правилом сложения по модулю 2 мы имеем: 0 + 0 = 0, 0+1 = 1, 1+0=1, 1+1 = 0. Можно это записать в виде «таблицы сложения» в группе Z₂ :

+_│_0_1

0 │ 0 1

1 │ 1 0

Расскажем о способах, которыми задаются различные группы. Наиболее известно описание группы с помощью образующих и соотношений. Системой образующих некоторой группы G называется такое подмножество ее элементов, что любой элемент группы G можно представить в виде произведения некоторых степеней этих образующих элементов. Рассмотрим, например, паркет, изображенный на рис. 2, и обозначим через G группу всех самосовмещений этого паркета (без учета цветной раскраски). В частности, в группе G содержится симметрия s относительно точки А и поворот g на 2π/3 вокруг точки В. Можно проверить, что любое самосовмещение рассматриваемого паркета представляется в виде произведения (композиции) некоторых степеней элементов s и д (например, поворот вокруг точки D на 2π/3 записывается в виде g∘s∘g²∘s∘g, а параллельный перенос на вектор АК^→ виде s∘g²∘s∘g. Иначе говоря, s и д составляют систему образующих для группы G. Между этими образующими есть равенства, G содержится симметрия s относительно точки А и поворот д на 2я/3 вокруг точки В. Можно проверить, что любое самосовмещение рассматриваемого паркета представляется в виде произведения (композиции) некоторых степеней элементов s и д (например, поворот вокруг точки D на 2я/3 записывается в виде g°s°g2°s°g, а параллельный перенос на вектор АК-ъ виде s°g2°s°g. Иначе говоря, s и д составляют систему образующих для группы G. Между этими образующими есть равенства,

которым эти образующие удовлетворяют: s² = е, g³ = е и др. Алгебраически группа G полностью определяется указанием образующих s, g и соотношений между ними.

В топологии, например, рассматриваются различные узлы (рис. 3) и для каждого узла определяется некоторая группа, называемая группой узла. Если узел изображен так, как на рис. 4 (с разрывами, показывающими пространственное расположение частей нити узла друг относительно друга), то за систему образующих группы узла можно принять дуги а₁, a₂, а₃, а₄, а₅, остающиеся неразорванными при таком изображении, а соотношения между этими образующими выписываются для каждой точки перекрещивания нитей узла (для этого надо задать какое-нибудь направление обхода на узле и выписывать соотношения по правилу, показанному на рис. 5). Так, для простейшего узла (его называют трилистником, рис. 6) его группа имеет три образующие a₁, а₂, а₃, между которыми имеются соотношения:

а₂а₃^-1а₂^-1а₁ = e, а₃а₁^-1а₃^-1а₂ = e, а₁а₁^-1а₁^-1а₃ = e.

Устанавливается, что эта группа алгебраически отлична от группы узла на рис. 7, и различие этих групп служит математическим доказательством того, что узел на рис. 6 невозможно «развязать», т. е., деформируя его, превратить в ровную линию без узлов (рис. 7). На рис. 8 и 9 изображены узлы, составленные из 2 или 3 замкнутых нитей. И в этих случаях, рассмотрев группу узла, можно доказать, что эти узлы не могут быть развязаны, т.е. нити, составляющие узел, невозможно развести, не разрывая их.

Мы рассказали о некоторых применениях понятия группы в различных вопросах алгебры и геометрии и упомянули о том, что в любой из областей знания, где встречаются группы, можно применять теоремы о группах (один раз доказав эти теоремы, исходя из аксиом группы). В чем же состоят эти теоремы? Рассмотрим одну из них.

Прежде всего приведем определение подгруппы. Пусть G - некоторая группа и Н- подмножество множества G. Если Я само является группой (относительно той операции умножения, которая имеется во всей группе G), то Н называется подгруппой группы G. Например, Z (множество всех целых чисел) является подгруппой группы R всех действительных чисел с операцией сложения. И еще один пример: группа G самосовмещений орнамента на рис. 2 является подгруппой группы всех движений плоскости. Это пример так называемой кристаллографической группы. Некоторая подгруппа G' группы всех движений плоскости называется кристаллографической группой, если существует такой многоугольник М (фундаментальная область группы G'), что всевозможные многоугольники, в которые переходит М при движениях, принадлежащих группе G', заполняют всю плоскость и попарно не имеют общих внутренних точек. Для группы G фундаментальными областями являются параллелограммы, которые, будто кристаллики, заполняют плоскость (рис. 10).

Кристаллографические группы можно рассматривать и в пространстве. Русский кристаллограф XIX в. Е. С. Федоров, основываясь на понятии группы, дал полное перечисление выпуклых многогранников, описывающих все формы кристаллов, которые служат фундаментальными областями кристаллографических групп в пространстве.

Вспомним теперь, как определяются вычеты по некоторому модулю т (см. Сравнения). Через Н_m обозначим подмножество множества Z всех целых чисел, состоящее из чисел, делящихся на m. Два целых числа а₁ и а₂ называются имеющими одинаковые остатки при делении на т, если их разность делится на m, т.е. если (а₂ - а₁)∈Н_m. Все числа, имеющие один и тот же остаток при делении на m, составляют один смежный класс относительно подгруппы Н_m ⊂ Z. Таким образом, всего имеется m смежных классов по этой подгруппе.

Сказанное можно применить и к любой другой группе G, в которой задана некоторая подгруппа Н. Два элемента а₁, а₂ группы G считаются принадлежащими одному смежному классу по подгруппе H, если их разность а₂ — а₁ (или элемент а₁^-1а₂, если групповой операцией является умножение) принадлежит подгруппе Н. Тем самым вся группа G «расслаивается» на смежные классы по подгруппе Н. Все смежные классы содержат одинаковое количество элементов (конечное или бесконечное) - столько же, сколько их имеется в подгруппе H. Поэтому если G - конечная группа, содержащая g элементов, то справедливо соотношение g = kh, где h - число элементов подгруппы Н, а k-число смежных классов,- в этом состоит одна из простейших теорем теории групп.

Пусть, например, K - некоторый куб, группа его самосовмещений. Через Н_A обозначим подгруппу группы G_K, состоящую из движений f∈G_K, переводящих вершину А в себя. Подгруппа Н_A содержит 6 элементов: три поворота вокруг диагонали А_C (рис. 11) и три зеркальные симметрии (рис. 12). Два элемента g₁, g₂∈G_K в том, и только том, случае принадлежат одному смежному классу по подгруппе Н_A, если g₁ и g₂ переводят А в одну и ту же вершину: g₁(A) = g₂(А). Поэтому имеется всего 8 смежных классов (по числу вершин). Так как в каждом из них содержится 6 элементов (столько же, сколько в подгруппе Н_A), то всего группа G_K содержит 6•8 = 48 элементов. Итак, существует 48 движений пространства, переводящих куб К в себя.

Аналогичным образом можно подсчитать число элементов в группах самосовмещений других правильных многогранников. Например, правильный икосаэдр имеет 10 самосовмещений, оставляющих неподвижной одну из его вершин (эти 10 самосовмещений образуют подгруппу группы всех самосовмещений), а всего у него имеется 12 вершин. Следовательно, группа самосовмещений правильного икосаэдра состоит из 120 элементов. Это самая большая из конечных групп движений трехмерного пространства. Заметим, что со свойствами этой группы тесно связан важный алгебраический факт - неразрешимость общего уравнения 5-й степени в радикалах.