Выпуклые функции

Важным характеризующим функцию свойством является монотонность (см. Возрастание и убывание функций). Однако этого свойства иногда оказывается недостаточно, чтобы описать ход изменения функции. На рис. 1 и 2 приведены графики монотонных функций, но они, как видим, различны. Форма графика первой функции, например, напоминает тяжелую нить, подвешенную в точках А и В, а форма второй-ветвь яблони, отягощенной плодами. Говорят, что функция, изображенная на рис. 1, выпукла вниз, а на рис. 2-выпукла вверх. Точнее, функцию f(х), непрерывную на некотором промежутке X, называют выпуклой вниз, если для любых точек х₁, и х₂ из промежутка X выполняется неравенство

f((x₁+x₂)/2) ≤ (f(x₁)+f(x₂))/2.

Если для любых точек х₁ и х₂ из промежутка X справедливо неравенство

f((x₁+x₂)/2) ≤ (f(x₁)+f(x₂))/2,

то функцию f(х) называют выпуклой вверх (вогнутой). Эти неравенства имеют простой геометрический смысл. Точка с абсциссой (x₁+x₂)/2 есть середина отрезка [x₁; x₂], а f((x₁+x₂)/2) - ордината соответствующей точки кривой (рис. 3); значение (f(x₁)+f(x₂))/2 равно ординате точки С, лежащей на хорде MN. Таким образом, на отрезке [x₁; x₂] функция выпукла вниз, если точка, принадлежащая графику функции, лежит ниже точки хорды MN (имеющей ту же абсциссу) или на хорде MN. Функция выпукла вверх, если точка, принадлежащая графику функции, лежит выше точки хорды MN (имеющей ту же абсциссу) или на хорде MN.

Исследования функции на выпуклость очень удобно проводить средствами математического анализа.

Как известно, имеют место следующие теоремы анализа:

1) если дифференцируемая функция выпукла вниз на промежутке X, то ее график расположен над касательной, проведенной в любой точке графика, а график дифференцируемой функции, выпуклой вверх, расположен под касательной, проведенной в любой точке графика (рис. 4 и 5);

2) если функция f(х) дважды дифференцируема на промежутке X, то она выпукла вниз, когда ее вторая производная f"(x) неотрицательна на этом промежутке: f"(х) ≥ 0, и выпукла вверх, когда ее вторая производная f"(x) неположительна: f"(x) ≤ 0. Это легко запомнить, если представить себе, что капли, падающие на выпуклую вниз кривую, «скапливаются» на ней, а падающие на выпуклую вверх кривую - «скатываются» с нее (рис. 6).

Так, функция у = х² всюду выпукла вниз, поскольку у' = 2х и у" = 2 > 0 для всех х. Функция у = ln x выпукла вверх на промежутке [0; +∞], так как

y' = 1/x, y" = -1/х² < 0.

Рассмотрим график функции у = sin х на отрезке [-π; π] (рис. 7). Ее первая и вторая производные: у' = cos x, у" = — sin x. На интервале [-π; 0] вторая производная положительна (так как sin x < 0), кривая выпукла вниз; напротив, на интервале [0; π] вторая производная отрицательна (здесь sin х > 0), кривая выпукла вверх.

Точку М(х₀, у₀) кривой у = f(х), где функция f(x) имеет вторую непрерывную производную, называют точкой перегиба, если кривая имеет различную выпуклость по разные стороны от этой точки.

Так точка O (0; 0) есть точка перегиба функции у = sin х, слева от нее функция выпукла вниз, справа-выпукла вверх.

Если функция в точке х₀ имеет перегиб, то в силу первой теоремы, названной выше, касательная к кривой, проведенная в точке перегиба, будет с одной стороны лежать над кривой, а с другой - под кривой. График кривой в точке перегиба переходит (перегибается) с одной стороны касательной на другую. На рис. 7 синусоида переходит с одной стороны прямой у = х, являющейся касательной в начале координат, на ее другую сторону.

При этом f"(x₀) = 0, так как по одну сторону от точки перегиба f"(х) ≥ 0, а по другую -f"(х) ≤ 0.

Таким образом, точки перегиба у дважды непрерывно дифференцируемой функции могут быть только там, где вторая производная функции обращается в нуль. Так, у функции у = sin х в точке х = 0 имеем у" = 0.

Следует, однако, заметить, что могут быть точки, где f"(х) = 0, но точки перегиба в них нет. При переходе через такую точку вторая производная сохраняет знак и функция не меняет выпуклости. Например, кривая у = х₂ всюду выпукла вниз (рис. 8), хотя ее вторая производная при х = 0 равна нулю. Действительно, у" = 12х₂ и у" ≥ 0 при х = 0.