Функция

Функция - это одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами.

Каждая область знаний: физика, химия, биология, социология, лингвистика и т.д. - имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства и, что особенно важно, взаимосвязи этих объектов.

В различных науках и областях человеческой деятельности возникают количественные соотношения, и математика изучает их в виде свойств чисел. Математика рассматривает абстрактные переменные величины и в отвлеченном виде, изучает различные законы их взаимосвязи, которые на математическом языке называются функциональными зависимостями, или функциями.

Например, в соотношении у = х² геометр или геодезист увидит зависимость площади у квадрата от величины х его стороны, а физик, авиаконструктор или кораблестроитель может усмотреть в нем зависимость силы у сопротивления воздуха или воды от скорости х движения. Математика же изучает зависимость у = х² и ее свойства в отвлеченном виде. Она устанавливает, например, что при зависимости у = х² увеличение x в 2 раза приводит к четырехкратному увеличению у. И где бы конкретно ни появилась эта зависимость, сделанное абстрактное математическое заключение можно применяв в конкретной ситуации к любым конкретным объектам.

Понятие функции для математики и ее приложений, связанных с изучением переменных величин, столь же фундаментально, как понятие числа при изучении количественных соотношений реального мира.

Математическое описание понятия функциональной зависимости или функции состоит в следующем.

Пусть X и У - какие-то множества. Говорят, что имеется функция, определенная на множестве X со значениями в множестве Y, если в силу некоторого закона f каждому элементу х ∈ Х соответствует определенный элемент y ∈ Y.

В этом случае множество X называется областью определения функции; символ х его общего элемента - аргументом функции или независимой переменной; соответствующий конкретному значению х₀ ∈ Х аргумента х элемент у₀ ∈ Y называют значением функции на элементе х₀ или значением функции при значении аргумента х = х₀ и обозначают через f(х₀). При изменении значений аргумента значения y = f(х) ∈ Y, вообще говоря, меняются (в зависимости от значения х). По этой причине величину у = f(х) часто называют зависимой переменной.

Совокупность всех значений, которые функция принимает на элементах множества X, называют множеством значений функции и иногда обозначают через f(X). В частности, если это множество состоит только из одного элемента y ∈ Y, то функция называется постоянной на множестве X.

Например, авиапассажиры сидят в креслах салона пассажирского авиалайнера. Пусть X - множество пассажиров, а Y - множество кресел салона. Тогда возникает естественное соответствие f: каждому пассажиру х ∈ Х сопоставляется то кресло у = f(х), в котором он сидит. Мы имеем здесь, таким образом, простой пример функции, областью определения которой является множество X пассажиров, а областью значений - множество f(X) занимаемых ими кресел. Если заполнены не все кресла Y то множество значений функции будет подмножеством Y, не совпадающим со всем множеством Y

Если в кресле y₀ находятся два пассажира x₀' и x₀" (например, мать и ребенок), то это никак не противоречит определению функции f, которая и x₀', и x₀" однозначно ставит в соответствие кресло у₀. Правда, такая функция принимает одно и то же значение у₀ при разных значениях x₀', X₀" аргумента, подобно тому как числовая функция у = f(х) - х2 принимает одно и то же значение 9 при х = -3 и х = +3.

Если, однако, какой-то пассажир х₀ ухитрится сесть сразу в два кресла у₀', y₀", то нарушится принцип однозначной определенности значений функции, поэтому такая ситуация не является функциональной в смысле данного выше определения функции, поскольку требуется, чтобы каждому значению х аргумента соответствовало одно определенное значение у = f(х) функции.

В зависимости от природы множеств XX Y термин «функция» в различных отделах математики имеет ряд полезных синонимов: соответствие, отображение, преобразование, оператор, функционал и т.д. Отображение-наиболее распространенный из них.

Для функции (отображения) приняты следующие обозначения: f : X → Y и X →f→ Y Если из контекста ясно, каковы область определения и область значений функции, то используют также обозначения х → f(х) или у = f(х), а иногда обозначают функцию вообще одним лишь символом f Вместо стандартной тройки (X, f, Y) для обозначения функции можно, разумеется, использовать и любые иные буквы, например рассматривать отображения φ:А → B, ψ:U → Y и т.д.

Когда функцию f:X → Y называют отображением, значение f(х) ∈ Y, которое она принимает на элементе х ∈ Х, обычно называют образом элемента х. Образом множества А ⊂ X при отображении f:X → Y называют множество f(А) тех элементов Y, которые являются образами элементов множества А.

Рассмотрим еще несколько примеров, поясняющих понятие функции. В них употребляются названные синонимы и введенная терминология.

Формулы S = х² и V = х³ устанавливают функциональную зависимость площади S квадрата и объема V куба от длины х стороны квадрата и ребра куба соответственно. При такой интерпретации каждая из этих формул задает свою функцию f:R₊ → R₊, определенную на множестве R₊ положительных чисел со значениями, лежащими в том же множестве R₊.

Здесь и область определения и область значений функции являются числовыми множествами. Такие функции обычно называют числовыми. Числовые функции являются основным, но далеко не единственным видом функций.

Пусть A - множество всевозможных квадратов. Каждый квадрат а ∈ А имеет сторону вполне определенной длины l(a). Соответствие а → l(a) порождает, таким образом, действительнозначную функцию f:A → R₊, определенную на множестве А квадратов и принимающую значения в множестве R₊ положительных чисел.

Пусть В - множество кубов в пространстве. Положительному числу x ∈ R₊ поставим в соответствие один выбранный из множества В куб b(х) с ребром, длина которого равна х. Тогда возникает функция f:R₊ → В, определенная на множестве чисел R₊, значения которой лежат в множестве В кубов.

Мы часто говорим «рассмотрим последовательность z₁, z₂, z₃, ..., z_n, ... элементов множества Z», имея в виду, что каждому натуральному числу n ∈ N ставится в соответствие некоторый элемент z_n множества Z. Таким образом, последовательность - это функция f:N → Z, заданная на множестве натуральных чисел.

Если на прямой ввести две системы координат {х}, {х'}, имеющие одинаковый масштаб (единицу длины), то координаты х и х' одной и той же точки прямой в этих системах будут связаны соотношением х' = х - с, где с - координата в системе {х} начала отсчета системы {х'}. Функция х' = х - с в этом случае обычно называется преобразованием координат. Термин «преобразование» часто встречается в геометрии (см. Геометрические преобразования), а также в физике в связи с разнообразными преобразованиями координат.

Каждой числовой функции f:[0; 1] → R, определенной на отрезке 0 ≤ х ≤ 1, ставим в соответствие ее значение f(х₀) в некоторой фиксированной точке х₀ этого отрезка. Соответствие f → f(х₀) порождает принимающую числовые значения функцию ℱ:F → R, определенную на множестве ℱ = {f} всех указанных функций f. Для удобства функции, определенные на функциях и принимающие числовые значения, обычно называют функционалами. Так что мы построили функционал ℱ:F → R. Другим примером функционала L:F = R может служить длина l(f) кривой, являющейся графиком функции f:[0; 1] → R.

Пусть М - множество всех числовых функций f:R → R, определенных на всей числовой прямой R. Фиксируем число с и каждой функции f ∈ m поставим в соответствие функцию f_c ∈ М, определяемую следующим соотношением: f_c(x) = f(х + с). Функцию f_c называют сдвигом функции f на величину с. Построенное соответствие f → f_c порождает функцию А:М → М, называемую оператором сдвига. Оператор, таким образом, это функция, преобразующая одни функции в другие, так A(f) = f_c. Операторы мы встречаем на каждом шагу: любой радиоприемник есть оператор, преобразующий электромагнитный сигнал, поступающий на вход приемника, в звуковой сигнал на его выходе; любой из наших органов чувств является оператором (преобразователем) со своими областью определения и областью значений.

Числовые функции изучаются в разделах математического анализа, объединяемых названием «теория функций». Функционалы и операторы изучаются в другом (тесно связанном с первым) разделе современного математического анализа, называемом функциональным анализом.

В теории вероятностей и математической статистике появляются и изучаются еще так называемые случайные функции.

Например, если бросать игральную кость (кубик) и номеру бросания сопоставлять выпавшее при этом бросании число очков, то получится числовая последовательность с целыми значениями в пределах от 1 до 6. Если эту процедуру повторить заново, то получится, вообще говоря, другая последовательность. До проведения опыта мы не знаем точно значения f(n) нашей функции в n-м бросании, хотя все-таки знаем, что с вероятностью 1/6 это может быть, например, 1. Распределение значений и другие свойства так возникающих функций изучают науки вероятностного цикла.

В обращении с функциями наиболее развитым является математический аппарат анализа числовых функций, поэтому большинство реально возникающих функций стремятся задать в числовом виде.

Рассмотрим температуру t в пункте р земной поверхности Р. Таким образом, возникает температурная функция Т:Р → R, аргументом которой является точка р поверхности Р, а значением t = Т(р) - температура в этой точке. Чтобы привести эту функцию к числовой записи, точку р характеризуют некоторыми числовыми параметрами, например широтой φ и долготой ψ. После этого вместо t = T(p) пишут t = T(φ, ψ), где теперь t, φ, ψ - числа. Но t оказывается, таким образом, зависящей не от одной, а от двух переменных - φ, ψ, поэтому такую числовую функцию называют функцией двух (числовых) переменных. В этом же смысле температура атмосферы в целом есть функция Т(φ, ψ, Н) трех числовых переменных: две первые (φ, ψ) указывают, над какой точкой земной поверхности проводится измерение температуры, а последняя - H - задает высоту, на которой оно выполняется.

Таким образом, то, что раньше выглядело как функция t = T(p) одного аргумента р, при переходе к числовой записи может оказаться функцией нескольких числовых аргументов. Такие функции встречаются очень часто. Так, прямоугольный параллелепипед П вполне определяется тройкой чисел (х, у, z) - длинами его ребер, поэтому объем V_П параллелепипеда оказывается функцией f(х, у, z) трех числовых переменных х, у, z. Хорошо известно, что V_П = f(x, у, z) = x•y•z.

Задание функции, как правило, предполагает указание алгоритма или, по крайней мере, точное описание того, как по фиксированному значению аргумента находить значение функции. Алгоритмическое задание функции является основным для расчетов, выполняемых на электронных вычислительных машинах. В случае числовых функций весьма распространено аналитическое задание функций в виде некоторых математических формул типа V = x•y•z, заменяющих словесные описания. В экспериментальных исследованиях, когда какая-то величина измеряется при некотором фиксированном наборе значений параметров, от которых она зависит, возникают таблицы значений функции, которые по найденным значениям функции в отдельных точках позволяют с должной точностью находить ее значения в промежуточных точках. Табличным заданием функций часто пользуются и в математике: таблицы квадратов и кубов чисел, таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и т.д. С другой стороны, функции появляются также в графическом задании: например, приборы, регистрирующие температуру или атмосферное давление, часто снабжены самописцем, который выдает показания прибора в виде графика зависимости измеряемого параметра от времени, изображаемого в определенной системе координат.

Понятие «функция» претерпело длительную и довольно сложную эволюцию. Термин «функция» впервые появился в 1692 г. у Г. В. Лейбница, правда, в некотором более узком смысле. В смысле, близком к современному, этот термин употребил в письме к Г. Лейбницу от 1698 г. швейцарский ученый И. Бернулли. В формировании современного понимания функциональной зависимости приняли участие многие крупные математики. Описание функции, почти совпадающее с современным, встречается уже в учебниках математики начала XIX в. Активным сторонником такого понимания функции был Я. И. Лобачевский.

Мы обсудили понятие функции. Остановимся в заключение на одном общем и важном принципе синтеза и анализа функций.

Хорошо известно, что сколько-нибудь сложная система, например современная технологическая линия, состоит из целого ряда технологических участков, на каждом из которых выполняется какая-то одна сравнительно простая операция. Исходным объектом обработки для следующего участка является продукция предшествующего участка. Такой принцип создания сложных систем из элементов, выполняющих сравнительно простые функции, вы можете увидеть и в радиоприемнике, и в административно-хозяйственном аппарате учреждения.

Отражением этого принципа в математике является операция композиции функций.

Если функции f:X → Y и g:Y → Z таковы, что одна из них (в нашем случае g) определена на множестве значений другой (f), то можно построить новую функцию g∘f:X → Z, значения которой на элементах множества X определяются формулой (g∘f)(x) - g(f(x)). Построенная «сложная» функция g∘f называется композицией функций f и g (в таком порядке!).

Композиция функций является, с одной стороны, богатым источником новых функций (синтез), а с другой стороны, способом расчленения сложных функций на более простые (анализ).

С композицией отображений можно столкнуться как в геометрии, рассматривая последовательно выполняемые движения плоскости или пространства, так и в алгебре при исследовании «сложных» функций, полученных композицией простейших элементарных функций. Так, функцию h(x) = sin(x²) можно рассматривать как композицию функций у = f(х) = х² и g(y) = sin y.

Операцию композиции часто приходится проводить несколько раз подряд, и в связи с этим полезно отметить, что она ассоциативна, т.е. h∘(g∘f) = (h∘g)∘f. Это обстоятельство, как и в случае сложения или умножения нескольких чисел, позволяет опускать скобки, предписывающие порядок действий. Например, пусть у₁(х) = f₁(x) = х² - 1, у₂ = f₂(y₁) = √y₁, y₃ = f₃(y₂) = cos y₂, y₄ = f₄(y₃) = 2y₃. Тогда

f₄∘f₃∘f₂∘f₁ = 2^{cos √(x2 - 1)}.

Если в композиции f_n∘...∘f₁ все члены одинаковы и равны f, го часто ее обозначают коротко через fⁿ.

Известно, что корень квадратный из положительного числа а можно вычислить последовательными приближениями по формуле

x_n+1 = (x_n + a/x_n)/2,

начиная с любого начального приближения х₀ > 0. Это не что иное, как последовательное вычисление fⁿ(х₀), где

f(х) = (х + а/х)/2.

Такая процедура, когда вычисленное на предыдущем шаге значение функции на следующем шаге становится ее же аргументом, называется итерационным процессом. Итерационные процессы очень широко применяются в вычислительной математике.

Отметим также, что даже в том случае, когда обе композиции g∘f и f∘g определены, вообще говоря, g∘f ≠ f∘g.

Возьмем, например, двухэлементное множество {а; b} и постоянные функции f:{а; b} → а, g{a; b} → b. Тогда g∘f:{a; b} → b, в то время как f∘g:{a; b} → a.

Отображение I:X → Х, сопоставляющее каждому элементу множества X его самого (т. е. I(х) = х), называется тождественным отображением множества X.

Отображения (функции) f:X → Y и g:Y → X называются взаимно-обратными, если g∘f = I_X и f∘g = I_Y.

Иными словами, если элемент х ∈ Х под действием f перешел в элемент у = f(х) ∈ Y, то под действием обратного отображения g этот элемент у = f(х) будет возвращен именно в х ∈ X, так же как элемент х = g(у) под действием f будет отправлен в элемент у, из которого он получился при отображении g. f и g взаимно-обратные отображения, то можно записать, что g = f^-1 и f = g^-1.

Примерами пар функций, взаимно-обратных на соответствующих числовых множествах X ⊂ R и Y ⊂ R, могут служить следующие пары элементарных функций:

у = хⁿ при х ≥ 0 и х = ⁿ√y при y ≥ 0;

у = 10^x при x ∈ R и x = lg y при у > 0;

y = sin x при x ∈ [-π/2;π/2] и

x = arcsin y при у ∈ [-1,1].

О наиболее часто встречающихся функциях вы прочитаете в статьях Элементарные функции, Линейная функция, Квадратный трехчлен, Степенная функция, Дробно-линейная функция, Показательная функция, Логарифмическая функция, Тригонометрические функции, Гиперболические функции.