Спирали

Спирали - плоские кривые линии, многократно обходящие одну из точек на плоскости, называемую полюсом спирали. Такая форма кривой делает естественной запись ее уравнения в полярных координатах r = f(φ), где функция f монотонно увеличивается или монотонно уменьшается с увеличением угла φ, значения которого рассматриваются уже не на отрезке [0,2π], а, как правило, для всех действительных значений φ.

Рассмотрим несколько наиболее часто встречающихся спиралей.

Спираль Архимеда. Полярное уравнение архимедовой спирали, изученной древнегреческим математиком Архимедом, имеет вид r = aφ. Геометрическим свойством, характеризующим спираль Архимеда, является постоянство расстояний между витками; каждое из них равно 2πа (рис. 1,а).

По спирали Архимеда идет, например, на грампластинке звуковая дорожка. Перемещение острия корундовой иглы по этой дорожке будет результирующим двух равномерных движений: приближения к полюсу и вращения вокруг полюса.

Металлическая пластина с профилем в виде половины витка архимедовой спирали часто используется в конденсаторе переменной емкости. Одна из деталей швейной машины — механизм для равномерного наматывания ниток на шпульку - имеет форму спирали Архимеда.

Квадратичная спираль. Ее уравнение в полярных координатах r = аφ². Если положить рядом с центром вращающейся грампластинки натертый мелом шарик для настольного тенниса, то, скатываясь с нее, он оставит на грампластинке след в виде квадратичной спирали. Действительно, абсолютно горизонтально установить грампластинку не удастся, а прямая ее наибольшего наклона та, по которой шарик скатывается под действием силы тяжести, равномерно вращается по пластинке (рис. 1,6).

Логарифмическая спираль. Уравнение в полярных координатах логарифмической спирали имеет вид г = а^φ. Спираль эта имеет бесконечное множество витков и при раскручивании (как и архимедова), и при скручивании. Последнее означает, что она не проходит через свой полюс. Логарифмическую спираль называют еще равноугольной спиралью. Это ее название отражает тот факт, что в любой точке логарифмической спирали угол между касательной к ней и радиусом-вектором сохраняет постоянное значение (рис. 1,в).

Логарифмическая спираль нередко используется в технических устройствах. Например, вращающиеся ножи нередко имеют профиль, очерченный по логарифмической спирали — под постоянным углом к разрезаемой поверхности, благодаря чему лезвие ножа стачивается равномерно. Ночные бабочки, которые пролетают большие расстояния, ориентируясь по параллельным лунным лучам, инстинктивно сохраняют постоянный угол между направлением полета и лучом света. Если они ориентируются на точечный источник света, скажем на пламя свечи, инстинкт их подводит, и бабочки попадают в пламя по скручивающейся логарифмической спирали.

Спираль Корню. Эта кривая названа по имени французского физика XIX в. А. Корню. Главной особенностью спирали (рис. 1,г) является то, что ее кривизна прямо пропорциональна длине пройденного по ней пути.

При строительстве железных и шоссейных дорог возникает необходимость связать прямолинейные участки с участками пути, где средства транспорта движутся по дугам окружностей. При этом важно, чтобы кривизна пути изменялась равномерно, и спираль Корню является идеальной переходной кривой для закругления железнодорожного пути. При этом прямой участок пути должен переходить в дугу спирали Корню, начиная с ее центра. А с путем по окружности спираль Корню стыкуется в той ее точке, где ее кривизна равняется кривизне данной окружности.