Проективная геометрия
Издавна художники изображали на картинах перспективу при помощи линий, пересекающихся на горизонте. Один из замечательных этапов в истории геометрии начался, когда французский математик и архитектор Ж. Дезарг (1593-1662) решил придать этим представлениям художников точный математический смысл. Он предложил добавить к обычным конечным точкам плоскости еще дополнительные бесконечно удаленные точки, в которых пересекаются параллельные прямые. Бесконечно удаленные точки называли несобственными или идеальными, чтобы подчеркнуть их отличие от настоящих точек. Но дальше Дезарг призывал как можно быстрее забыть об этом различии, утверждая, что только тогда может быть польза от рассмотрения бесконечно удаленных точек.
Сколько бесконечно удаленных точек нужно добавить к плоскости? Естественно было бы считать, что все параллельные друг другу прямые пересекаются в одной бесконечно удаленной точке, которую и нужно добавить к точкам этих прямых. Важно было догадаться, что все эти точки для разных направлений прямых заполнят одну бесконечно удаленную прямую, которой на картинах художников служит линия горизонта. Полученная в результате плоскость называется расширенной или проективной.
В евклидовой геометрии взаимное положение точек и прямых регулируется двумя утверждениями: через две различные точки проходит единственная прямая, а две различные прямые или пересекаются в единственной точке, или параллельны. На расширенной плоскости эти утверждения становятся проще, поскольку любые две прямые там пересекаются, при этом различные свойства параллельных прямых превращаются в частные случаи утверждений для пересекающихся прямых. Пусть, например, мы имеем две точки: одну-конечную А, а другую-бесконечно удаленную В. Для задания В достаточно указать какую-нибудь прямую которой принадлежит В (все параллельные прямые пересекаются в В). Тогда утверждение о том, что через А и В проходит, и притом единственная, прямая, равносильно тому, что через точку А, не лежащую на l, проходит единственная прямая, параллельная l. Рассмотрев еще несколько подобных ситуаций, нетрудно убедиться, что очень удобно считать параллельность частным случаем пересечения.
В этих рассуждениях мы решительно разделяли конечные и бесконечно удаленные точки. Чтобы стереть эти различия, Дезарг предлагает рассуждать следующим образом. Различные плоскости в трехмерном пространстве воспринимаются как образы одной и той же плоскости, а картинки на этих плоскостях сравниваются при помощи центрального проектирования. А именно, фиксируется точка О в пространстве (рис. 1); точки А на плоскости α и А' на плоскости β считаются соответствующими друг другу (изображениями одной и той же точки на разных «картинах»), если А и А' лежат на одной прямой, проходящей через О. Так что если на α имеется некоторая фигура Гl, то ее точки соединяются с О прямыми, а из пересечений этих прямых с плоскостью β собирается фигура Гl на β, соответствующая Г (Гl называется центральной проекцией на Р из точки О фигуры Г). Такого рода преобразования фигур уже возникали раньше при построении изображений.
Присмотритесь более внимательно к возникающему преобразованию. Может случиться так, что прямая, соединяющая точку О с точкой А, будет параллельна плоскости β и в результате точка А' на плоскости β не будет соответствовать никакой точке. Дезарг предлагает считать, что образом А тогда является бесконечно удаленная точка на β (образ «ушел на бесконечность»). Если провести через О плоскость, параллельную β, то в пересечении с α получится прямая l, которой в силу сказанного естественно поставить в соответствие на плоскости β бесконечно удаленную прямую. Если же, напротив, провести через точку О плоскость, параллельную α, то при пересечении с β получится прямая m, в точки которой при проектировании не будут переходить никакие конечные точки плоскости α, и принимается, что в m переходит бесконечно удаленная прямая плоскости α. Итак, по Дезаргу, одни и те же фигуры по-разному изображаются на разных плоскостях в пространстве. В частности, одна и та же прямая на одной плоскости предстанет перед нами как бесконечно удаленная, а на другой - как конечная. Поэтому если мы не хотим, чтобы точки на одних картинах исчезали, а на других возникали из ничего, то мы должны рассматривать расширенную (проективную) плоскость.
Для того чтобы сделать эту точку зрения рабочей, надо выяснить, насколько же различаются изображения одних и тех же объектов. Ясно, что искажение при центральном проектировании весьма велико, но присущи ли различным изображениям хоть какие-то общие черты? Прежде всего сохраняется прямолинейность: прямые переходят в прямые, пересекающиеся прямые в пересекающиеся (параллельность частный случай!). Обратите внимание на то, сколько исключений пришлось бы оговорить уже здесь, не введи мы бесконечно удаленных элементов.
Замечательная догадка Дезарга заключалась в том, что имеются содержательные геометрические утверждения, в которых речь идет лишь о пересечениях прямых. Теорема, приведенная ниже, носит его имя. Пусть для треугольников A1B1C1 и А2В2С2 прямые (рис. 2), соединяющие вершины, А1 и А2, В1 и В2, С1 и С2 пересекаются в одной точке Е. Тогда точки М, N, Р пересечения соответствующих сторон (А1В1 и А2В2, В1С1 и В2С2, А1С1 и А2С2) лежат на одной прямой. Верна и обратная теорема. Самое известное сегодня доказательство теоремы Дезарга очень красиво и связано с переходом к ее пространственному варианту. Весьма поучителен и другой способ рассуждения. Поскольку в теореме речь идет лишь о взаимном положении точек и прямых, сохраняющихся при центральном проектировании, из справедливости теоремы в одной картине следует ее справедливость в любой другой. Другими словами, можно сделать центральную проекцию так, чтобы ситуация стала особенно простой. Например, если сделать точки М, N бесконечно удаленными (соответствующие стороны будут параллельны), то получится элементарное утверждение, которое легко доказать, пользуясь подобием треугольников. Общий случай будет получаться автоматически!
Следует заметить, что в проективной геометрии понятие треугольника нуждается в уточнении. Собственно говоря, надо прежде всего уточнить понятие отрезка. Проективную прямую следует себе мыслить как замыкающуюся через свою бесконечно удаленную точку, и пара точек определяет на прямой два отрезка (с точки зрения евклидовой геометрии, отрезок и его дополнение-пару лучей). Как всегда, проверка правильности определения производится при помощи центральной проекции. Ясно, что если точки А, В переходят в А', В' и какая-то точка отрезка АВ уходит при проектировании на бесконечность, то АВ переходит при проектировании во внешность отрезка А'В', т.е. действительно, в проективной геометрии отрезки и их внешности нельзя различать. Соответственно три точки А, В, С на проективной плоскости (не лежащие на одной прямой) определяют 4 треугольника. Впрочем, для теоремы Дезарга это несущественно, так как в ней фактически фигурируют лишь вершины и прямые, на которых лежат стороны.
Мы обсудили ситуацию с взаимным положением точек и прямых в проективной геометрии. А как обстоит дело с другими фигурами? Например, окружность при центральном проектировании, хотя и не остается окружностью, все же не искажается «бесконтрольно»: она всегда изображается коническим сечением (эллипсом, гиперболой или параболой). Проективная геометрия открыла новую эпоху в изучении конических сечений. Одну из первых теорем в этом направлении доказал Б. Паскаль (1623-1662) в возрасте 16 лет: три точки пересечения противоположных сторон шестиугольника, вписанного в коническое сечение, лежат на одной прямой (рис. 3). Заметим, что центральная проекция позволяет свести случай произвольного конического сечения к случаю окружности.
О замечательных работах Ж. Дезарга и Б. Паскаля забыли на полтора века. Новая жизнь проективной геометрии началась с работ французских математиков Г. Монжа (1746-1818) и его ученика Ж. Понселе (1788-1867). Последний задумался над вопросом, почему эллипсы обычно пересекаются в четырех точках, а окружности - только в двух. Он обнаружил, что мы не замечаем двух других точек пересечения в случае окружностей, поскольку они являются не только бесконечно удаленными, но и мнимыми. Таким образом в геометрии появились комплексные числа.
Дальнейшее развитие проективной геометрии состояло в том, что геометры находили соотношения, не изменяющиеся при центральном проектировании. Очень непросто было обнаружить числовые соотношения, обладающие этим свойством, ведь расстояния изменяются существенно. Оказывается, что если взять четыре точки В, С, D, Е на одной прямой (верхний рисунок на стр. 255) и составить так называемое сложное, или двойное отношение четырех точек BD•DE/CD•BE, то оно не будет изменяться при центральных проектированиях и их композициях-проективных преобразованиях (см. Геометрические преобразования). Не нужно опасаться, что некоторые из приведенных здесь расстояний могут принимать бесконечные значения: если бесконечность есть в числителе, то она есть и в знаменателе, и нужно условиться формально сокращать их. Двойное отношение четырех точек А, В, С, D равно величине
sin ∠АОС•sin ∠BOD / (sin ∠ВОС • sin ∠AOD),
которая называется двойным отношением четырех прямых OA, OB, ОС, OZ), проходящих через одну точку О (оно также сохраняется при проективных преобразованиях).
Для каждого понятия и утверждения проективной геометрии, в котором участвуют точки, прямые, а также конические сечения, можно построить двойственное утверждение, в котором роль точек будут играть прямые и наоборот, а принадлежность точек прямым сохраняется; при этом множеству точек конического сечения будет двойственно множество всех касательных к коническому сечению прямых. Например, теореме Паскаля (рис. 3) двойственна такая теорема Брианшона (рис. 4): три прямые, соединяющие вершины шестиугольника, описанного вокруг конического сечения, пересекаются в одной точке. Конфигурация Дезарга из 10 точек и 10 прямых (рис. 2) двойственна самой себе.
Обобщения понятия проективной плоскости - конечные проективные плоскости, n-мерные (вещественные и комплексные) проективные пространства - в наши дни широко применяются в различных разделах математики и ее приложениях-комбинаторике, теории алгебраических кривых и поверхностей.
