Множества

Множество — одно из основных понятий современной математики, используемое почти во всех её разделах.

Во многих вопросах приходится рассматривать некоторую совокупность элементов как единое целое. Так, биолог, изучая животный и растительный мир данной области, классифицирует все особи по видам, виды по родам и т. д. Каждый вид является некоторой совокупностью живых существ, рассматриваемой как единое целое.

Для математического описания таких совокупностей и было введено понятие множества. По словам одного из создателей теории множеств немецкого математика Георга Кантора (1845–1918), «множество есть многое, мыслимое нами как единое». Разумеется, эти слова не могут рассматриваться как математически строгое определение множества, такого определения не существует, поскольку понятие множества является исходным, на основе которого строятся остальные понятия математики. Но из этих слов ясно, что можно говорить о множестве натуральных чисел, множестве треугольников на плоскости.

Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются конечными, а остальные множества — бесконечными. Например, множество китов в океане конечно, а множество рациональных чисел бесконечно. Конечные множества могут быть заданы перечислением их элементов (например, множество учеников в данном классе задается их списком в классном журнале). Если множество [math]A[/math] состоит из элементов [math]a,b,c,[/math] то пишут: [math]A=\{a,b,c\}.[/math] Бесконечные множества нельзя задать перечнем их элементов. Их задают обычно, указывая свойство, которым обладают все элементы данного множества, но не обладают никакие элементы, не принадлежащие этому множеству. Такое свойство называют характеристическим для рассматриваемого множества. Если [math]P(x)[/math] — сокращенное обозначение предложения «элемент [math]x[/math] обладает свойством [math]P[/math]», то множество всех элементов, имеющих свойство [math]Р,[/math] обозначают так: [math]\{x⋅P(x)\}.[/math] Например, запись [math]\{x⋅x^2−3x+2=0\}[/math] означает множество корней уравнения [math]x^2−3x+2=0,[/math] т. е. множество [math]\{1,2\}.[/math] Может случиться, что не существует ни одного элемента, обладающего свойством [math]Р[/math] (например, нет ни одного нечетного числа, которое делилось бы на [math]2[/math]). В этом случае во множестве [math]\{x⋅P(x)\}[/math] нет ни одного элемента. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым. Его обозначают знаком [math]\varnothing.[/math]

Если элемент [math]x[/math] принадлежит множеству [math]A,[/math] то пишут: [math]x∈A,[/math] в противном случае пишут: [math]x∉A[/math] или [math]x\bar{∈}A.[/math] Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называют равными (совпадающими). Например, равны множество равносторонних треугольников и множество равноугольных треугольников, так как это одни и те же треугольники: если в треугольнике все стороны равны, то равны и все его углы; обратно, из равенства всех трех углов треугольника вытекает равенство всех трех его сторон. Очевидно, что равны два конечных множества, отличающиеся друг от друга лишь порядком их элементов, например [math]\{a,b,c]=\{c,a,b\}.[/math]

Всякий квадрат является прямоугольником. Говорят, что множество квадратов является частью множества прямоугольников, или, как говорят в математике, является подмножеством множества прямоугольников. Если множество [math]А[/math] является подмножеством множества [math]B,[/math] то пишут: [math]A⊂B[/math] или [math]B⊃A.[/math] Для любого множества [math]A[/math] верны включения [math]A⊂A[/math] и [math]\varnothing⊂A.[/math]

Из данных множеств [math]A[/math] и [math]B[/math] можно построить новые множества, применяя операции пересечения, объединения и вычитания. Пересечением множеств [math]A[/math] и [math]B[/math] называют их общую часть, т. е. множество элементов, принадлежащих как [math]A,[/math] так и [math]B.[/math] Это множество обозначают: [math]A∩B.[/math] Например, пересечением двух геометрических фигур является их общая часть, пересечением множества ромбов с множеством прямоугольников — множество квадратов и т. д.

<addc>l</addc>

Объединением множеств [math]A[/math] и [math]B[/math] называют множество, составленное из элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств. В различных вопросах классификации используется представление множеств в виде объединения попарно непересекающихся подмножеств. Например, множество многоугольников является объединением множества треугольников, четырехугольников, …, [math]n[/math]‑угольников.

Если применять операции объединения и пересечения к подмножествам некоторого множества [math]U,[/math] то снова получатся подмножества того же множества [math]U.[/math] Эти операции обладают многими свойствами, похожими на свойства операций сложения и умножения чисел. Например, пересечение и объединение множеств обладают свойствами коммутативности и ассоциативности, пересечение дистрибутивно относительно объединения, т. е. для любых множеств [math]A,B[/math] и [math]C[/math] верно соотношение [math]A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)[/math] и т. д. Но в то же время у операций над множествами есть ряд свойств, не имеющих аналогов в операциях над числами. Например, для любого множества [math]A[/math] верны равенства [math]A∩A=A[/math] и [math]A∪A=A,[/math] верен второй закон дистрибутивности [math]A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)[/math] и т. д. С помощью свойств операций над множествами можно преобразовывать выражения, содержащие множества, подобно тому как с помощью свойств операций над числами преобразовывают выражения в обычной алгебре. Возникающая таким путем алгебра называется булевой алгеброй, по имени английского математика и логика Дж. Буля (1815–1864),} который занимался ею в связи с проблемами математической логики. Булевы алгебры находят многочисленные применения, в частности в теории электрических сетей.

Основной характеристикой конечного множества является число его элементов (например, множество вершин квадрата содержит [math]4[/math] элемента). Если в множествах [math]A[/math] и [math]B[/math] поровну элементов, например если [math]A=\{a_1,…,a_n\},[/math] [math]B=\{b_1,…,b_n\},[/math] то из элементов этих множеств можно составить пары [math](a_1,b_1),…,(a_n,b_n),[/math] причем каждый элемент из [math]A,[/math] равно как и каждый элемент из [math]B,[/math] входит в одну, и только одну, пару. Говорят, что в этом случае между элементами множеств [math]A[/math] и [math]B[/math] установлено взаимно-однозначное соответствие. И наоборот, если между двумя конечными множествами [math]A[/math] и [math]B[/math] можно установить взаимнооднозначное соответствие, то в них поровну элементов.

Г. Кантор предложил аналогичным образом сравнивать между собой бесконечные множества. Говорят, что множества [math]A[/math] и [math]B[/math] имеют одинаковую мощность, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие. Сравнивая таким путем множества, составленные из чисел, Кантор показал, что существует взаимно-однозначное соответствие между множеством натуральных чисел и множеством рациональных чисел, хотя множество натуральных чисел является лишь частью множества рациональных чисел. Таким образом, в теории бесконечных множеств теряет силу утверждение, что «часть меньше целого».

Множества, имеющие ту же мощность, что и множество натуральных чисел, называют счетными. Таким образом, множество рациональных чисел счетно. Важнейший пример несчетного множества-множество всех действительных чисел (или, что то же самое, множество точек на прямой линии). Так как прямая линия непрерывна, то такую несчетную мощность называют мощностью континуума (от латинского continuum — «непрерывный»). Мощность континуума имеют множества точек квадрата, куба, плоскости и всего пространства.

В течение долгих лет математики решали проблему: существует ли множество, мощность которого является промежуточной между счетной и мощностью континуума. В 60‑х гг. нашего века американский математик П. Коэн и чешский математик П. Вопенка почти одновременно независимо друг от друга доказали, что как существование такого множества, так и отсутствие его не противоречат остальным аксиомам теории множеств (подобно тому, как принятие аксиомы о параллельных или отрицание этой аксиомы не противоречат остальным аксиомам геометрии).