ФИБОНАЧЧИ ЧИСЛА

Материал из Юнциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Имя Леонардо Фибоначчи (Леонардо Пизанского) - крупного итальянского математика, автора «Книги об абаке» (1202), которая несколько веков оставалась основным хранилищем сведений по арифметике и алгебре, сейчас встречается чаще всего в связи с замечательной числовой последовательностью 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ....

Эта последовательность определяется условиями : u1 = 1, u2 = 1, un+1 = un + un-1 (для каждого натурального n > 1). Ее члены называются числами Фибоначчи. Они возникают в самых разных математических ситуациях - комбинаторных, числовых, геометрических.

Если вы любите отыскивать числовые закономерности в живой природе, то заметите, что эти числа часто встречаются в различных спиральных формах, которыми так богат мир растений; черенки листьев примыкают к стеблю по спирали, которая проходит между двумя соседними листьями: 1/3 полного оборота - у орешника, 2/5 - у дуба, 3/8 - у тополя и груши, 5/13 - у ивы; чешуйки на еловой шишке, ячейки на ананасе и семена подсолнечника расположены спиралями, причем количества спиралей каждого направления также, как правило, числа Фибоначчи.

На рис. 1 числа Фибоначчи выражают длины сторон спиральной последовательности квадратов на клетчатой бумаге. Из этого рисунка нетрудно получить такое равенство: u12 + u22 + u32 + ... + un2 = unun+1 (для любого n). Это и другие любопытные соотношения между числами Фибоначчи, такие, как

u1 + u2 + ... + un = un+2 - 1;

un2 - un-1un+1 = un+2un-1 - unun-1 = (-1)n;

um+k = uk-1um + ukum+1,

можно доказать методом математической индукции.

Много интересного в арифметике чисел Фибоначчи. Каждое третье число Фибоначчи четно, каждое четвертое делится на три, каждое пятнадцатое оканчивается нулем, и вообще для каждого d числа Фибоначчи, делящиеся на d, встречаются периодически. Два соседних числа Фибоначчи взаимно просты; um делится на un тогда и только тогда, когда m делится на n.

При детальном исследовании свойств делимости чисел Фибоначчи выясняется особая роль числа 5, например: если простое число р имеет вид 5t ± 2, то up+1 делится на р, а если р имеет вид 5t ± 1, то up-1 делится на р.

Число 5 участвует и в приведенной ниже формуле Бине (французский ученый Ж. Вине, 1786-1856), выражающей un как функцию от номера n:

un = (((1 + √5)/2)n - ((1 - √5)/2)n)/√5.

Из этой формулы следует, что ип растет примерно как геометрическая прогрессия со знаменателем

τ = (√5 + 1)/2,

точнее, un равно ближайшему целому числу к τn/√5.

Формулу Бине можно доказать по индукции или с помощью производящей функции для последовательности Фибоначчи:

u1x + u2x2 + u3x3 + ... = x/(1 - x - x2).

Выражение для n-го члена в виде суммы нескольких геометрических прогрессий, аналогичное формуле Бине, можно написать и для других последовательностей, определяемых соотношением хn+r = а0xn + a1xn+1 + ... + ar-1xn+r-1. Знаменатели этих прогрессий находятся как корни так называемого характеристического многочлена р(λ) = λr - ar-1λr-1 - ... - a1λ - a0. Например, для последовательности Фибоначчи характеристический многочлен равен λ2 - λ - 1. В общем случае надо использовать не только вещественные, но и комплексные корни многочлена (а если к тому же у него какой-то корень λ имеет кратность k > 1, то кроме геометрической прогрессии сλn в сумму могут входить еще последовательности c1n, c2n2λn, ..., ck-1nk-1λn - тогда общее число членов в сумме будет всегда равно r).

Уже в нашем веке были найдены новые свойства и применения чисел Фибоначчи. Среди них - самый быстрый способ отыскания экстремума для функции у = f(х) с двумя промежутками монотонности [а, х*] и [х*, b] (т.е. с одним экстремумом): оказывается, в наилучшем плане поиска точки экстремума х*, состоящего из n шагов, участвуют числа Фибоначчи u1, u2, ..., un+2.