ФЕРМА ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА

Материал из Юнциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Натуральные числа х, у, z, удовлетворяющие уравнению х2 + у2 = z2 (они могут служить сторонами прямоугольного треугольника), называют пифагоровыми тройками. Таковы, например, числа 3, 4, 5. Математики Древней Греции знали все пифагоровы тройки (имеется и вавилонская клинописная табличка с пифагоровыми тройками). Все тройки взаимно простых пифагоровых чисел можно получить по формулам:

х = m2 - n2, у = 2mn, z = m2 + n2,

где m и n - целые числа, причем m > n > 0.

До нас дошло сочинение древнегреческого математика Диофанта (вероятно, III в.), в котором, в частности, содержалось исследование пифагоровых троек. Французский математик П. Ферма написал на полях этой книги: «Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки». Другими словами, уравнение хn + уn = zn при n > 2 не имеет решений в натуральных числах х, у, z.

С этого высказывания начинается одна из самых волнующих историй в математике - история великой теоремы Ферма (так стали называть это утверждение). То, что Ферма не оставил доказательства, никого не удивило - он почти не оставил доказательств своих арифметических теорем.

Многие утверждения Ферма впоследствии доказал Л. Эйлер. Он попытался доказать и великую теорему Ферма. Вначале Л. Эйлер разобрал случай n = 4 (это доказательство было и у Ферма) и лишь через 20 лет, в 1768 г., прибавил случай n = 3 (да и то с пробелами). Лишь более чем через полвека, в 1825 г., французским математиком А. Лежандром (1752-1833) и немецким математиком П. Дирихле (1805-1859) была доказана справедливость утверждения П. Ферма для n = 5. Нетрудно понять, что случай n = 6 сводится к n = 3 и вообще, кроме случая n = 4, достаточно рассматривать лишь простые показатели n. Вскоре, в 1839 г. усилиям французского математика Г. Ламе (1795-1870) поддался случай n = 1, одно время даже казалось, что он вывел общий случай, но обнаружилась ошибка.

Самые серьезные исследования великой теоремы Ферма связаны с именем немецкого математика Э. Куммера (1810-1893). В 1843 г. он предложил доказательство, в котором была ошибка, но затем он постепенно исправлял ее. Его доказательство содержало достаточные условия для n, при выполнении которых для этого n теорема справедлива. Вначале эти условия были столь трудно проверяемы, что не удавалось прибавить ни одного показателя к уже известным. Затем они упростились, и теорема была доказана разом для всех n из первой сотни, исключая n = 37, 59, 67. Однако и с этими исключениями вскоре удалось справиться. К концу жизни Э. Куммер уже не рассчитывал доказать теорему в полном объеме, он лишь хотел доказать ее справедливость для бесконечного множества простых показателей, но и этого до сих пор не удалось доказать.

В 1934 г. американский математик Г. Вандивер упростил условия Э. Куммера, и в этом варианте они (при помощи ЭВМ) в последнее время проверены для всех простых n < 100000.

А как же доказательство П. Ферма, которое «не уместилось на полях»? С одной стороны, Ферма не допускал ошибок в высказываниях, а с другой стороны, кажется невероятным, что самые блестящие математические умы за три столетия не обнаружили рассуждения, на которое намекал Ферма. Нет даже ни одной убедительной реконструкции ошибочного рассуждения, которое П. Ферма мог принять за доказательство. Более того, все разобранные случаи, начиная с n = 3, требуют применения методов, совершенно неизвестных Ферма. По тем же причинам, по-видимому, обречены на неудачу многочисленные попытки любителей найти ее доказательство. Но великая теорема Ферма сослужила добрую службу, хотя само это утверждение занимает довольно изолированное положение в математике. В процессе ее доказательства Э. Куммер придумал теорию идеальных чисел - одну из самых удивительных и плодотворных математических теорий.

Интересное продвижение в решении великой теоремы Ферма получено в 1983 г. нидерландским математиком Г. Фалтингсом (см. Диофантовы уравнения).