ТРИГОНОМЕТРИЯ

Материал из Юнциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Тригонометрия - математическая дисциплина, изучающая зависимость между сторонами и углами треугольника.

Казалось бы, тригонометрию можно считать лишь частью геометрии, однако тригонометрические функции, с помощью которых связываются элементы треугольника,- это объект изучения математического анализа, а тригонометрические уравнения - уравнения, в которых неизвестные являются аргументами тригонометрических функций,- изучаются методами алгебры. Таким образом, тригонометрия - раздел математики, использующий достижения других важных ее разделов.

Основные формулы тригонометрии задаются теоремой синусов (см. Синусов теорема) и теоремой косинусов (см. Косинусов теорема). Кроме них часто применяются теорема тангенсов, открытая в XV в. немецким математиком И. Региомонтаном,

(a - b)/(a + b) = (tg (A - B)/2)/(tg (A + B)/2),

(b - c)/(b + c) = (tg (B - C)/2)/(tg (B + C)/2),

(c - a)/(c + a) = (tg (C - A)/2)/(tg (C + A)/2),

и формулы К. Мольвейде (немецкого математика конца XVIII-начала XIX в.):

(a + b)/c = (cos (A - B)/2)/ sin C/2, (a - b)/c = (sin (A - B)/2)/ cos C/2.

Здесь через а, b, с обозначены длины сторон треугольника, а через А, В, С - соответственно величины противоположных им углов.

Помимо теоремы косинусов углы треугольника могут быть также выражены через его стороны с помощью формул:

tg A/2 = √((p - b)(p - c)/(p(p - a)),

tg B/2 = √((p - a)(p - c)/(p(p - b)),

tg C/2 = √((p - a)(p - b)/(p(p - c)),

где р - полупериметр треугольника.

Площадь треугольника помимо формулы Герона (см. Герона формула) может быть выражена с помощью тригонометрии через стороны и углы треугольника еще несколькими способами:

S = (1/2) ab sin C, S = a2 sin B sin C / (2 sin(B + C)),

S = p2 tg A/2 tg B/2 tg C/2

Тригонометрия возникла из практических нужд человека. С ее помощью можно определить расстояние до недоступных предметов и, вообще, существенно упрощать процесс геодезической съемки местности для составления географических карт.

Зачатки тригонометрических познаний зародились в древности. На раннем этапе тригонометрия развивалась в тесной связи с астрономией и являлась ее вспомогательным разделом. Древнегреческие ученые разработали «тригонометрию хорд», изложенную выдающимся астрономом Птолемеем (II в.) в его работе «Альмагест». Птолемей вывел соотношения между хордами в круге (выражавшиеся словесно ввиду отсутствия в то время математической символики), которые равносильны современным формулам для синуса половинного и двойного угла, суммы и разности двух углов:

sin α/2 = √((1 - cos α)/2), sin 2α = 2 sin α cos α,

sin (α ± β) = sin α • cos β ± sin β • cos α.

Важный шаг в развитии тригонометрии был сделан индийскими учеными, которые заменили хорды синусами. Это нововведение перешло в VIII в. в арабоязычную математику стран Ближнего и Среднего Востока, где тригонометрия постепенно превратилась из раздела астрономии в самостоятельную математическую дисциплину. Помимо синуса были введены и другие тригонометрические функции,и для них были составлены таблицы.

Общепринятые понятия тригонометрии, а также обозначения и определения тригонометрических функций сформировались в процессе долгого исторического развития. Если, например, при введении основных тригонометрических понятий представляется естественным принимать радиус тригонометрического круга (рис. 1) равным единице, то эта, казалось бы, простая идея была усвоена только в Х-XI вв. Если мы понимаем под синусом угла α в прямоугольном треугольнике ОВС отношение катета ВС (линия синуса) к гипотенузе ОС (т. е. радиусу единичной окружности), то в средние века термином «синус» обозначали саму линию синуса ВС. То же относится к косинусу, под которым понималась линия косинуса ОВ, и другим тригонометрическим функциям.

Лишь постепенно, благодаря введению новых понятий, а также в результате разработки и усовершенствования математической символики, тригонометрия приобрела современный вид, наиболее удобный для решения вычислительных задач. Окончательный вид она приобрела в XVIII в. в трудах Л. Эйлера.

Существует также сферическая тригонометрия, рассматривающая соотношения между сторонами и углами треугольников на сфере, образованных дугами больших кругов. Она является частью сферической геометрии и возникла исторически раньше тригонометрии на плоскости из потребностей практической астрономии.