ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Материал из Юнциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в запись которых входят тригонометрические функции от неизвестного (см. Уравнения). При решении тригонометрических уравнений их обычно сводят к простейшим уравнениям вида R(x) = а, где R(х) - одна из основных тригонометрических функций (синус, косинус, тангенс, котангенс), а - некоторое число.

Простейшие тригонометрические уравнения

sin x = а и (1)

cos x = а (2)

при |а| > 1 не имеют решений (рис. 1a, 2а), а при |а| ≤ 1 имеют два корня на любом полуоткрытом промежутке длины 2π (совпадающие при |a| = 1 (рис. 1б, 2б). Все корни этих уравнений выписывают с помощью формул

х = (-1)karcsin a + πk, k = 0, ±1, ±2, ..., для уравнения (1);

х = ± arccos а + 2πk, для уравнения (2)

(рис. 1, 2) (см. Обратные тригонометрические функции).

Уравнение

tg х = а (3)

имеет при любом а один корень на любом полуоткрытом промежутке длины π, при этом

х = arctg a + πk, k ∈ Z. Уравнение

ctgx = а (4)

также имеет при любом а один корень на любом полуоткрытом промежутке длины π, корни уравнения (4) задаются формулой

х = arcctg а + πk, k ∈ Z.

Уравнение вида R(g(x)) = a заменой переменной у = g(х) сводится к простейшему уравнению R(y) = а (R - одна из основных тригонометрических функций). Из этого уравнения можно найти значения уk, после чего останется решить уравнение замены g(х) = yk.

Решим уравнение sin 1/(х - 2) = 0. Обозначая у = 1/(х - 2), получим 1/(х - 2) = πk, k = ±1, ±2, х - 2 = 1/πk, х = 2 + 1/πk. Ответ: {2 +1/πk; k = ±1, ±2, ...}.

Нередко замена у = R(х) сводит исходное уравнение к алгебраическому относительно R(x). После нахождения значений y1, y2, ... остается решить простейшие уравнения R(x) = y1, R(х) = у2. Например, замена у = sin х сводит уравнение 1 - sin х - 2 cos2 х = 0 к алгебраическому уравнению 2у2 - у - 1 = 0.

В случае, когда определен tg(x/2), справедливы формулы:

cos x = (1 - tg2 (x/2))/(1 + tg2 (x/2)); sin x = (2 tg (x/2))/(1 + tg2 (x/2);

С помощью этих формул уравнение, связывающее значения sin x, cos x, tg x и ctg x, приводится к уравнению относительно t = tg(x/2). Отдельно надо рассмотреть случай, когда tg(x/2) не определен (т.е. cos (х/2) = 0).

Решим уравнение 2 sin х + cos х = ctg (х/2) - 1. Значения π + 2πk, k = 0, ±1, ± 2, ..., при которых не определен tg (x/2), являются решениями уравнения (при таких х cos x = -1, sin х = 0, ctg (х/2) = 0 и 2•0 - 1 = 0 - 1). При остальных х можно воспользоваться формулами (5); обозначая tg (x/2) через t, получим:

2•2t/(1 + t2) + (1 - t2)/(1 + t2) = 1/t - 1, 3t2 + 2t - 1 = 0,

откуда t = -1 или t = 1/3.

Ответ:

{π + 2πk; -π/2 + 2πk; 2arctg 1/3 + 2πk, k = 0, ±1, ±2, ...}. Уравнение вида

A cos х + В sin х = C, (6)

где А, В, С - некоторые числа, удобно решать с помощью введения вспомогательного аргумента по следующей схеме. Записывая уравнение (6) в виде

A COS х /√(A2 + B2) + B sin x /√(A2 + B2) = C/√(A2 + B2),

легко заметить, что

(A/√(A2 + B2))2 +(B/√(A2 + B2))2 = 1,

поэтому существует такой угол φ, что

cos φ = A/√(A2 + B2) ; sin φ = B/√(A2 + B2).

Следовательно,

COS (х - φ) = C/√(A2 + B2),

и мы получили простейшее уравнение относительно у = х - φ.