ТРЕУГОЛЬНИК

Простейший из многоугольников - треугольник - играет в геометрии особую роль. Без преувеличения можно сказать, что вся (или почти вся) геометрия со времен «Начал» Евклида покоится на «трех китах» - трех признаках равенства треугольников. Лишь на рубеже XIX-XX вв. математики научились строить геометрию на основе более фундаментального и общего, чем равенство треугольников, понятия геометрического преобразования.

За несколько тысячелетий геометры столь подробно изучили треугольник, что иногда говорят о «геометрии треугольника» как о самостоятельном разделе элементарной геометрии.

В треугольнике ЛВС выделяют 6 основных элементов - 3 (внутренних) угла А, В, С и 3 соответственно противолежащие им стороны а, b и с. Признаки равенства треугольников можно сформулировать так: треугольник однозначно (т.е. с точностью до равенства) восстанавливается по следующим тройкам основных элементов:

a, b и С; а, В и С; а, b и с.

Из школьного курса вам известны еще «три кита» евклидовой планиметрии-три признака подобия треугольников: треугольник с точностью до подобия восстанавливается по следующим парам величин:

а:b, С; a:b, b:с; А, В.

Заметим, что в признаках равенства нельзя взять любую тройку основных элементов, даже если один из них - сторона; на рис. 1 показано, например, что треугольник нельзя однозначно построить по элементам a, b и В: треугольники А₁ВС и A₂ВС имеют общие угол В и сторону ВС = а, равные стороны А₁С и А₂С, но эти треугольники не равны.

Кроме того, элементы треугольника нельзя задать произвольно, даже если их только три. Например, чтобы можно было построить треугольник по трем сторонам a, b и с, необходимо (и достаточно) (см. Необходимые и достаточные условия), чтобы выполнялись три «неравенства треугольника»:

a < b + c; b < a + c; с < а + b.

Углы треугольника связаны более жестким соотношением:

А + В + С = 180° (или π).

Анализируя первый и второй признаки равенства - по а, b, С или а, В, С,- мы приходим к выводу о том, что остальные элементы треугольника ABC, в частности сторона с, однозначно определяются имеющимися тремя элементами. Для стороны с соответствующие формулы даются теоремами косинусов и синусов:

c² = a² + b² - 1ab cos С и с = a sin C/sin A,

где A = π - В - С.

Центральное место в геометрии треугольника занимают свойства так называемых замечательных точек и линий, простейшие из которых мы и рассмотрим.

Три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке - центре описанной около треугольника окружности (рис. 2). Этот факт следует из свойства серединного перпендикуляра d к отрезку: d состоит из тех, и только тех, точек, которые равноудалены от концов отрезка. Если для треугольника AВС серединные перпендикуляры к АВ и ВС пересекаются в точке О, то |OA| = |OB| b |OB| = |ОС|,поэтому |ОА| = |ОС| и точка О обязана лежать на серединном перпендикуляре к третьей стороне АС.

Биссектрисы трех внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке-центре вписанной в треугольник окружности (рис. 3). Это следует из основного свойства биссектрисы l выпуклого угла: l состоит из тех, и только тех, точек угла, которые равноудалены от его сторон. Если рассмотреть дополнительно биссектрисы трех пар внешних углов треугольника, то получается еще три замечательные точки - центры вневписанных окружностей (рис. 4).

Радиусы описанной, вписанной и вневписанной окружностей R, r, r_a, r_b и r_c связаны красивым соотношением

r_a + r_b + r_c = r + 4R,

а расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей ρ можно найти по формуле Эйлера: ρ² = R² - 2Rr.

Здесь же приведем формулы для площади треугольника:

S = abc/4R = pr,

где p - полупериметр треугольника.

Среди свойств биссектрис треугольника выделяется такая теорема: биссектриса внутреннего (внешнего) угла С треугольника ЛВС делит противоположную сторону внутренним (внешним) образом в отношении, равном отношению прилежащих сторон; на рис. 5

АB:BE = AЕ':BE' = АС:ВС.

Все три медианы пересекаются в точке М (рис. 6), называемой центроидом треугольника AВС (который также является центром масс для тонкой треугольной пластины). Каждая медиана делится точкой М в отношении 2:1, считая от соответствующей вершины треугольника. Высоты треугольника (или их продолжения) также пересекаются в одной точке H-ортоцентре треугольника (рис. 7).

Пусть высоты треугольника AВС пересекают соответственные стороны (или их продолжения) в точках А₀, В₀, С₀ (рис. 7). Треугольник A₀В₀С₀ называется ортоцентрическим для треугольника AВС или, коротко, его ортотреугольником. Оказывается, высоты треугольника являются биссектрисами его ор-тотреугольника. Если треугольник ABC остроугольный, то ортотреугольник А₀В₀С₀ вписан в треугольник AВС: вершины A₀В₀С₀ лежат на соответствующих сторонах треугольника AВС. Справедлива замечательная теорема: среди всех треугольников, вписанных в остроугольный треугольник, ортотреугольник имеет наименьший периметр.

Теоремы о пересечении высот, медиан, биссектрис треугольника в действительности можно получить из общей «теоремы Чевы» (Д. Чева - итальянский математик, (1648-1734)): отрезки AQ, BR, CP, соединяющие вершины треугольника AВС с точками на противолежащих сторонах (рис. 8), пересекаются в одной точке D тогда, и только тогда, когда

АР•BQ•CR = PB•QC•RA.